Funzione aritmetica

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In matematica, in particolare in teoria dei numeri, una funzione aritmetica f(n) è una funzione definita per tutti i numeri naturali (cioè gli interi positivi) e che ha come valori numeri reali o complessi che "esprime alcune proprietà aritmetiche di n". In altre parole: una funzione aritmetica non è altro che una successione di numeri reali o complessi con particolari proprietà aritmetiche.

Le più importanti funzioni aritmetiche sono quelle additive e quelle moltiplicative.

Un'importante operazione con le funzioni aritmetiche è la convoluzione di Dirichlet.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Una funzione aritmetica f può essere:

Funzioni additive[modifica | modifica sorgente]

ω(n) – divisori primi distinti[modifica | modifica sorgente]

La funzione ω(n) indica il numero di primi distinti che dividono n

\omega(n)=k,

se n=\prod_{i=1}^k p_i^{a_i}, con pi primi distinti e ai interi positivi.

Funzioni completamente additive[modifica | modifica sorgente]

Ω(n) – divisori primi[modifica | modifica sorgente]

La funzione Ω(n) indica il numero di fattori primi di n contati con molteplicità

\omega(n)=\sum_{i=1}^k a_i,

se n=\prod_{i=1}^k p_i^{a_i}, con pi primi distinti e ai interi positivi.

νp(n) – divisori potenze di primi[modifica | modifica sorgente]

La funzione valutazione p-adica νp(n) indica il massimo esponente elevato al quale p divide n

\nu_{p_j}(n)=a_j,

se n=\prod_{i=1}^k p_i^{a_i}, con pi primi distinti e ai interi positivi.

Funzioni moltiplicative[modifica | modifica sorgente]

σk(n), τ(n), d(n) – somme di divisori[modifica | modifica sorgente]

La funzione σk(n) è la somma delle potenze k-esime dei divisori positivi di n, incluso 1 e n, dove k è un numero complesso.

\sigma_k(n) = \prod_{i=1}^{\omega(n)} \frac{p_i^{(a_i+1)k}-1}{p_i^k-1}= \prod_{i=1}^{\omega(n)} \left(1 + p_i^k + p_i^{2k} + \cdots + p_i^{a_i k}\right).

Nel caso particolare k=0, la funzione σ0(n) è semplicemente il numero dei divisori (positivi) n; ed è solitamente indicata semplicemente con d(n) or τ(n) (dal tedesco Teiler = divisore).

Sostituendo k = 0 nel secondo prodotto si ha

\tau(n) = d(n) = (1 + a_{1})(1+a_{2})\cdots(1+a_{\omega(n)}).

Nel caso particolare k=1, la funzione σ1(n) è semplicemente la somma dei divisori (positivi) di n ed è solitamente indicata semplicemente con σ(n).

φ(n) – funzione totiente di Eulero[modifica | modifica sorgente]

La funzione totiente di Eulero φ(n) è il numero degli interi positivi minori di n coprimi con n.


\varphi(n) = n \prod_{p|n} \left(1-\frac{1}{p}\right)=n \left(\frac{p_1 - 1}{p_1}\right)\left(\frac{p_2 - 1}{p_2}\right) \ldots \left(\frac{p_{\omega(n)} - 1}{p_{\omega(n)}}\right).

Jk(n) – funzione totiente Jordan[modifica | modifica sorgente]

La funzione totiente di Jordan Jk(n) è il numero delle k-ple di interi positivi minori o uguali a n che formano una (k + 1)-pla di numeri coprimi insieme a n.


J_k(n) = n^k \prod_{p|n} \left(1-\frac{1}{p^k}\right)=n^k \left(\frac{p^k_1 - 1}{p^k_1}\right)\left(\frac{p^k_2 - 1}{p^k_2}\right) \ldots \left(\frac{p^k_{\omega(n)} - 1}{p^k_{\omega(n)}}\right).

Nel caso particolare k=1 si ottiene la funzione totiente di Eulero J1(n)=φ(n).

μ(n) - funzione di Möbius[modifica | modifica sorgente]

La funzione di Möbius μ(n) è importante a causa della formula di inversione di Möbius.

\mu(n)=\begin{cases} (-1)^{\omega(n)}=(-1)^{\Omega(n)} &\mbox{if }\; \omega(n) = \Omega(n)\\
0&\mbox{if }\;\omega(n) \ne \Omega(n).\end{cases}

Funzioni completamente moltiplicative[modifica | modifica sorgente]

λ(n) – funzione di Liouville[modifica | modifica sorgente]

La funzione di Liouville λ(n) è definita da

\lambda (n) = (-1)^{\Omega(n)}.

χ(n) – caratteri[modifica | modifica sorgente]

Tutti i caratteri di Dirichlet χ(n) sono completamente moltiplicativi.

Il carattere quadratico (mod n) è indicato con il simbolo di Jacobi per n dispari (non è definito per n pari):

\Bigg(\frac{a}{n}\Bigg) = \left(\frac{a}{p_1}\right)^{a_1}\left(\frac{a}{p_2}\right)^{a_2}\cdots \left(\frac{a}{p_{\omega(n)}}\right)^{a_{\omega(n)}}.

In questa formula (\tfrac{a}{p}) è il simbolo di Legendre, definito per ogni intero a e per ogni primo p da


\left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases}
\;\;\,0\mbox{ if } a \equiv 0 \pmod{p}
\\+1\mbox{ if }a \not\equiv 0\pmod{p} \mbox{ and for some integer }x, \;a\equiv x^2\pmod{p}
\\-1\mbox{ if there is no such } x. \end{cases}

per l'usuale convenzione del prodotto vuoto si ha \left(\frac{a}{1}\right) = 1.

Funzioni né additive né moltiplicative[modifica | modifica sorgente]

π(x) – enumerazione di primi[modifica | modifica sorgente]

Diversamente dalle altre funzioni elencate in quest'articolo, questa è definita per valori reali non negativi (non solo interi).

La funzione enumerativa dei primi π(x) è il numero dei numeri primi minori o uguali a x.

\pi(x) = \sum_{p\le x}1

Ad esempio si ha che π(1) = 0 e π(10) = 4 (i primi minori di 10 sono 2, 3, 5, e 7).

Λ(n) – funzione di von Mangoldt[modifica | modifica sorgente]

La funzione di von Mangoldt Λ(n), è definita


\Lambda(n) = \begin{cases}\log p &\mbox{if } n=p^k \mbox{ is a prime power}\\
0&\mbox{if } n \mbox{ is not a prime power}.
\end{cases}

p(n) – funzione partizione[modifica | modifica sorgente]

La funzione p(n) indica il numero di modi di rappresentare n come somma di interi positivi (non considerando l'ordine degli addendi):


p(n) = |\left\{ (a_1, a_2,\dots a_k): 0 < a_1 \le a_2 \le \ldots \le a_k\; \and \;n=a_1+a_2+\cdots +a_k  \right\}|.

rk(n) – somma di quadrati[modifica | modifica sorgente]

La funzione rk(n) indica il numero di volte che n può essere rappresentato come somma di k quadrati (dove l'ordine degli addendi e il segno contano come differenti)

r_k(n) = |\{(a_1, a_2,\dots,a_k):n=a_1^2+a_2^2+\cdots+a_k^2\}|.

Ad esempio r4(n) è il numero di modi in cui n può essere espresso come somma di 4 quadrati di numeri non negativi. Ad esempio

1 = (\pm 1)^2+0^2+0^2+0^2= 0^2+(\pm 1)^2+0^2+0^2 = 0^2+0^2+(\pm 1)^2+0^2 = 0^2+0^2+0^2+(\pm 1)^2,

dunque r4(1)=8.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (Chapter 2).
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