Simbolo di Legendre

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Il simbolo di Legendre è utilizzato in matematica nell'ambito della teoria dei numeri, e in particolare nei campi della fattorizzazione e dei residui quadratici. Esso prende il nome dal matematico francese Adrien-Marie Legendre.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Il simbolo di Legendre è definito come segue:

Se è un numero primo e è un intero, allora il simbolo di Legendre è uguale a:

  • se divide ;
  • se è un quadrato modulo , ossia se esiste un intero tale che , o equivalentemente se è un residuo quadratico modulo ;
  • se non è un quadrato modulo , cioè se non è un residuo quadratico modulo .

La generalizzazione del simbolo di Legendre a con dispari è il simbolo di Jacobi.

Proprietà del simbolo di Legendre[modifica | modifica wikitesto]

Il simbolo di Legendre possiede un certo numero di proprietà che consentono di velocizzare i calcoli. Le più importanti sono:

  1. (cioè è una funzione completamente moltiplicativa nel suo argomento superiore)
  2. Se ab (mod p), allora
  3. , cioè 1 se p ≡ 1 (mod 4) e −1 se p ≡ 3 (mod 4)
  4. , cioè 1 se p ≡ 1 o 7 (mod 8) e −1 se p ≡ 3 o 5 (mod 8)
  5. = 1 per tutti gli a dispari e 0 per a pari
  6. Se q è un primo dispari, allora

L'ultima proprietà prende il nome di legge di reciprocità quadratica.

Il simbolo di Legendre è inoltre collegato al criterio di Eulero, dimostrato da Leonardo Eulero:

Infine, il simbolo di Legendre è un carattere di Dirichlet, detto anche il carattere quadratico modulo p.

Funzioni correlate[modifica | modifica wikitesto]

Il simbolo di Jacobi è una generalizzazione del simbolo di Legendre che ammette come argomento un numero composto al posto del primo p.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9, (Chapter 9.2)
  • H. Davenport, Aritmetica superiore, Zanichelli, Bologna, 1994, ISBN 88-08-09154-6 - Capitolo III.3
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