Funzione moltiplicativa

In teoria dei numeri, una funzione moltiplicativa è una funzione aritmetica f(n) degli interi positivi n con la proprietà che f(1) = 1 e, se a e b sono coprimi, allora

$f(ab)=f(a)f(b)$

Una funzione aritmetica f(n) è detta essere completamente (totalmente) moltiplicativa se f(1) = 1 e f(ab) = f(a) f(b) per tutti gli interi positivi a e b, anche se non sono coprimi.

Al di fuori della teoria dei numeri, il termine moltiplicativa viene di solito usato per funzioni con la proprietà che f(ab) = f(a) f(b) per tutti i valori di a e b; questo significa che o vale f(1) = 1, oppure che f(a) = 0 per tutti gli a tranne a = 1. Nel seguito dell'articolo si tratterà solo delle funzioni moltiplicative in teoria dei numeri.

Esempi

Molte importanti funzioni in teoria dei numeri sono moltiplicative. Alcuni esempi:

• $\phi$(n): la funzione phi di Eulero, o funzione totiente, che conta i numeri positivi coprimi (ma non maggiori di) n.
• $\mu$(n): la funzione di Möbius, legata al numero di fattori primi di numeri privi di quadrati.
• MCD(n,k): il massimo comun divisore di n e k, dove k è un intero fissato.
• d(n): Il numero di divisori positivi di n.
• $\sigma$(n): la somma di tutti i divisori positivi di n.
• $\sigma$_k(n): la funzione divisore, data dalla somma delle k-sime potenze di tutti i divisori positivi di n (dove k può essere un numero complesso qualunque). Come casi speciali,
  • $\sigma$₀(n) = d(n) e
  • $\sigma$₁(n) = $\sigma$(n).
• 1(n): la funzione costante, definita da 1(n) = 1 per ogni n (completamente moltiplicativa).
• Id(n): la funzione identità, definita da Id(n) = n (completamente moltiplicativa).
• Id_k(n): la funzione potenza, definita da Id_k(n) = n^k per ogni numero naturale (o persino complesso) k (completamente moltiplicativa). Come casi speciali abbiamo
  • Id₀(n) = 1(n) e
  • Id₁(n) = Id(n).
• $\varepsilon$(n): la funzione definita da $\varepsilon$(n) = 1 se n = 1 e = 0 se n > 1; tale funzione viene a volte chiamata unità moltiplicativa per la convoluzione di Dirichlet o semplicemente funzione unità; a volte la si trova scritta come u(n), da non confondersi con $\mu$(n). (completamente moltiplicativa).
• (n/p), il simbolo di Legendre, dove p è un numero primo fissato (completamente moltiplicativa).
• $\lambda$(n): la funzione di Liouville, collegata al numero di fattori primi che dividono n (completamente moltiplicativa).
• $\gamma$(n), definita da $\gamma$(n)=(-1)^$\omega$(n), dove la funzione additiva $\omega$(n) è il numero di primi distinti che dividono n.

Un esempio di funzione non moltiplicativa è la funzione aritmetica r₂(n) - il numero di rappresentazioni di n come somma dei quadrati di due interi, positivi, negativi, o zero, dove nel contare le rappresentazioni è ammesso cambiare l'ordine degli addendi. Ad esempio,

1 = 1² + 0² = (-1)² + 0² = 0² + 1² = 0² + (-1)²

e quindi r₂(1) = 4 ≠ 1, il che prova che la funzione non è moltiplicativa. Però, r₂(n)/4 è moltiplicativa.

Vedi funzione aritmetica per altri esempi di funzioni non moltiplicative.

Proprietà

Una funzione moltiplicativa è completamente determinata dai valori che assume per le potenze dei numeri primi, come conseguenza del teorema fondamentale dell'aritmetica. Se pertanto n è rappresentabile sotto forma di prodotto di potenze di numeri primi nella forma n = p^a q^b ..., allora f(n) = f(p^a) f(q^b) ...

Tale proprietà riduce significativamente il costo computazionale per ricavare i valori delle funzioni, come si può vedere nei seguenti esempi per n = 144 = 2⁴ · 3²:

d(144) = $\sigma$₀(144) = $\sigma$₀(2⁴)$\sigma$₀(3²) = (1⁰ + 2⁰ + 4⁰ + 8⁰ + 16⁰)(1⁰ + 3⁰ + 9⁰) = 5 · 3 = 15,

$\sigma$(144) = $\sigma$₁(144) = $\sigma$₁(2⁴)$\sigma$₁(3²) = (1¹ + 2¹ + 4¹ + 8¹ + 16¹)(1¹ + 3¹ + 9¹) = 31 · 13 = 403,

$\sigma$^*(144) = $\sigma$^*(2⁴)$\sigma$^*(3²) = (1¹ + 16¹)(1¹ + 9¹) = 17 · 10 = 170.

Similmente abbiamo

$\phi$(144)=$\phi$(2⁴)$\phi$(3²) = 8 · 6 = 48

In generale, se f(n) è una funzione moltiplicativa, e a, b sono due interi positivi qualunque, allora

f(a) · f(b) = f(MCD(a,b)) · f(mcm(a,b)).

Tutte le funzioni completamente moltiplicative sono omomorfismi di monoidi, e sono determinate univocamente dai valori che assumono in corrispondenza dei numeri primi.

Convoluzione

Se f e g sono due funzioni moltiplicative, si può definire una nuova funzione moltiplicativa, la convoluzione di Dirichlet di f e g, indicata come f * g, nel modo seguente:

$(f*g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g(n/d)$

dove la somma viene fatta su tutti i divisori positivi d di n. Rispetto a tale operazione, l'insieme di tutte le funzioni moltiplicative diventa un gruppo abeliano; l'elemento identità è $\varepsilon$.

Ecco alcune relazioni convolutive tra le funzioni moltiplicative elencate sopra:

• $\varepsilon$ = $\mu$ * 1 (la formula di inversione di Möbius)
• $\phi$ = $\mu$ * Id
• d = 1 * 1
• $\sigma$ = Id * 1 = $\phi$ * d
• $\sigma$_k = Id_k * 1
• Id = $\phi$ * 1 = $\sigma$ * $\mu$
• Id_k = $\sigma$_k * $\mu$

La convoluzione di Dirichlet può essere definita per funzioni aritmetiche generiche, nel qual caso dà una struttura di anello, l'anello di Dirichlet.

Bibliografia

• Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (capitolo 2)

Voci correlate

• Prodotto di Eulero
• Serie di Bell
• Serie di Lambert

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione moltiplicativa, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Funzione moltiplicativa, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.