Funzione moltiplicativa

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In teoria dei numeri, una funzione moltiplicativa è una funzione aritmetica f(n) degli interi positivi n con la proprietà che f(1) = 1 e, se a e b sono coprimi, allora

f(ab) = f(a)f(b)

Una funzione aritmetica f(n) è detta essere completamente (totalmente) moltiplicativa se f(1) = 1 e f(ab) = f(a) f(b) per tutti gli interi positivi a e b, anche se non sono coprimi.

Al di fuori della teoria dei numeri, il termine moltiplicativa viene di solito usato per funzioni con la proprietà che f(ab) = f(a) f(b) per tutti i valori di a e b; questo significa che o vale f(1) = 1, oppure che f(a) = 0 per tutti gli a tranne a = 1. Nel seguito dell'articolo si tratterà solo delle funzioni moltiplicative in teoria dei numeri.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Molte importanti funzioni in teoria dei numeri sono moltiplicative. Alcuni esempi:

  • \phi(n): la funzione phi di Eulero, o funzione totiente, che conta i numeri positivi coprimi (ma non maggiori di) n.
  • \mu(n): la funzione di Möbius, legata al numero di fattori primi di numeri privi di quadrati.
  • MCD(n,k): il massimo comun divisore di n e k, dove k è un intero fissato.
  • d(n): Il numero di divisori positivi di n.
  • \sigma(n): la somma di tutti i divisori positivi di n.
  • \sigmak(n): la funzione divisore, data dalla somma delle k-sime potenze di tutti i divisori positivi di n (dove k può essere un numero complesso qualunque). Come casi speciali,
    • \sigma0(n) = d(n) e
    • \sigma1(n) = \sigma(n).
  • 1(n): la funzione costante, definita da 1(n) = 1 per ogni n (completamente moltiplicativa).
  • Id(n): la funzione identità, definita da Id(n) = n (completamente moltiplicativa).
  • Idk(n): la funzione potenza, definita da Idk(n) = nk per ogni numero naturale (o persino complesso) k (completamente moltiplicativa). Come casi speciali abbiamo
    • Id0(n) = 1(n) e
    • Id1(n) = Id(n).
  • \varepsilon(n): la funzione definita da \varepsilon(n) = 1 se n = 1 e = 0 se n > 1; tale funzione viene a volte chiamata unità moltiplicativa per la convoluzione di Dirichlet o semplicemente funzione unità; a volte la si trova scritta come u(n), da non confondersi con \mu(n). (completamente moltiplicativa).
  • (n/p), il simbolo di Legendre, dove p è un numero primo fissato (completamente moltiplicativa).
  • \lambda(n): la funzione di Liouville, collegata al numero di fattori primi che dividono n (completamente moltiplicativa).
  • \gamma(n), definita da \gamma(n)=(-1)\omega(n), dove la funzione additiva \omega(n) è il numero di primi distinti che dividono n.


Un esempio di funzione non moltiplicativa è la funzione aritmetica r2(n) - il numero di rappresentazioni di n come somma dei quadrati di due interi, positivi, negativi, o zero, dove nel contare le rappresentazioni è ammesso cambiare l'ordine degli addendi. Ad esempio,

1 = 12 + 02 = (-1)2 + 02 = 02 + 12 = 02 + (-1)2

e quindi r2(1) = 4 ≠ 1, il che prova che la funzione non è moltiplicativa. Però, r2(n)/4 è moltiplicativa.

Vedi funzione aritmetica per altri esempi di funzioni non moltiplicative.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Una funzione moltiplicativa è completamente determinata dai valori che assume per le potenze dei numeri primi, come conseguenza del teorema fondamentale dell'aritmetica. Se pertanto n è rappresentabile sotto forma di prodotto di potenze di numeri primi nella forma n = pa qb ..., allora f(n) = f(pa) f(qb) ...

Tale proprietà riduce significativamente il costo computazionale per ricavare i valori delle funzioni, come si può vedere nei seguenti esempi per n = 144 = 24 · 32:

d(144) = \sigma0(144) = \sigma0(24)\sigma0(32) = (10 + 20 + 40 + 80 + 160)(10 + 30 + 90) = 5 · 3 = 15,
\sigma(144) = \sigma1(144) = \sigma1(24)\sigma1(32) = (11 + 21 + 41 + 81 + 161)(11 + 31 + 91) = 31 · 13 = 403,
\sigma*(144) = \sigma*(24)\sigma*(32) = (11 + 161)(11 + 91) = 17 · 10 = 170.

Similmente abbiamo

\phi(144)=\phi(24)\phi(32) = 8 · 6 = 48

In generale, se f(n) è una funzione moltiplicativa, e a, b sono due interi positivi qualunque, allora

f(a) · f(b) = f(MCD(a,b)) · f(mcm(a,b)).

Tutte le funzioni completamente moltiplicative sono omomorfismi di monoidi, e sono determinate univocamente dai valori che assumono in corrispondenza dei numeri primi.

Convoluzione[modifica | modifica sorgente]

Se f e g sono due funzioni moltiplicative, si può definire una nuova funzione moltiplicativa, la convoluzione di Dirichlet di f e g, indicata come f * g, nel modo seguente:

(f*g)(n) = \sum_{d|n} f(d)g(n/d)

dove la somma viene fatta su tutti i divisori positivi d di n. Rispetto a tale operazione, l'insieme di tutte le funzioni moltiplicative diventa un gruppo abeliano; l'elemento identità è \varepsilon.

Ecco alcune relazioni convolutive tra le funzioni moltiplicative elencate sopra:

La convoluzione di Dirichlet può essere definita per funzioni aritmetiche generiche, nel qual caso dà una struttura di anello, l'anello di Dirichlet.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]


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