Formula prodotto di Eulero

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La formula prodotto di Eulero o più semplicemente il prodotto di Eulero è una formula dimostrata da Leonhard Euler nel 1737.[1]

dove è la funzione zeta di Riemann e il prodotto del secondo membro dell'uguaglianza percorre tutti i numeri primi.

Questa formula è interessante in quanto mette in relazione una serie in cui compaiono tutti i numeri naturali e un prodotto in cui compaiono tutti i numeri primi. È all'origine del collegamento tra funzione zeta di Riemann e numeri primi che si presenta nell'ipotesi di Riemann.

Dimostrazioni[modifica | modifica wikitesto]

Prima Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Partiamo dalla funzione zeta:

se moltiplichiamo entrambi i termini per abbiamo che:

Sottraendo la seconda espressione dalla prima:

In questa serie non compaiono denominatori pari.
Moltiplicando per il primo termine (dopo l'uno) rimasto si ottiene:

Sottraendo l'ultima alla penultima espressione, abbiamo che:

In questo procedimento abbiamo eliminato, prima tutti i multipli di due poi tutti i multipli del primo numero rimasto cioè tre, se poi lo facciamo di nuovo con cinque vedremo eliminati tutti i multipli di cinque:

Stiamo progressivamente eliminando tutti i multipli di ogni numero rimasto dopo l'uno (e che quindi è un numero primo visto che non è multiplo di nessun altro numero più piccolo). I numeri del prodotto prima dell'uguale quindi saranno tutti primi. Quindi ripetendo infinite volte il procedimento:

E in conclusione:

Q.E.D

Seconda Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

si può considerare il termine

come il numero a cui converge la serie geometrica

Quindi il prodotto di Eulero diviene:

E svolgendolo

È chiaro che nel termine a destra dell'uguale appariranno prima o poi tutte le possibili combinazioni di numeri primi possibili (e a qualsiasi potenza). Per il teorema fondamentale dell'aritmetica abbiamo che queste combinazioni forniscono tutti i numeri naturali. Possiamo dunque riordinare i termini così:

Quindi:

Q.E.D

Infiniti numeri primi[modifica | modifica wikitesto]

Tramite questa formula Eulero diede una dimostrazione dell'infinità dei numeri primi. Infatti se si inserisce nella formula il numero 1 si ha:

E siccome la somma nel primo membro è la serie armonica, che diverge, anche il prodotto deve farlo. Ma ciò è possibile solo se i suoi membri sono infiniti e quindi se esistono infiniti numeri primi.

Generalizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Attraverso le dimostrazioni si può generalizzare questa formula per ogni funzione moltiplicativa a(x):

Dove P(p,s) è la serie:

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Moltissime funzioni possono essere espresse con il prodotto di Eulero. Queste funzioni danno origine a prodotti molto simili a quello sopra illustrato per la funzione zeta di Riemann. Capita dunque di trovare collegamenti tra queste serie di funzioni e la funzione zeta. Ad esempio:

Il prodotto di Eulero per la funzione di Moebius  :

.

E quello per il suo valore assoluto:

.

Il prodotto per la funzione di Liouville:

.

E altri che utilizzano la funzione zeta come:

Dove è il numero di fattori primi distinti di n

E anche

dove è la somma di tutti i divisori di ( e compresi).

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Apostol, p. 230

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, New York, Springer-Verlag, 1976, ISBN 0-387-90163-9.
  • John Derbyshire, L'ossessione dei numeri primi, Bollati Boringhieri, 2006, ISBN 88-339-1706-1

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Controllo di autoritàLCCN (ENsh85045552 · GND (DE4489294-9 · BNF (FRcb12286484v (data)
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