Formula prodotto di Eulero

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La formula prodotto di Eulero o più semplicemente il prodotto di Eulero è una formula dimostrata da Leonhard Euler nel 1737.[1]

dove è la funzione zeta di Riemann e il prodotto del secondo membro dell'uguaglianza percorre tutti i numeri primi.

Questa formula è interessante in quanto mette in relazione una serie in cui compaiono tutti i numeri naturali e un prodotto in cui compaiono tutti i numeri primi. È all'origine del collegamento tra funzione zeta di Riemann e numeri primi che si presenta nell'ipotesi di Riemann.

Dimostrazioni[modifica | modifica wikitesto]

Prima Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Partiamo dalla funzione zeta:

se moltiplichiamo entrambi i termini per abbiamo che:

Sottraendo la seconda espressione dalla prima

In questa serie non compaiono denominatori pari.
Moltiplicando per il primo termine (dopo l'uno) rimasto

Sottraendo l'ultima alla penultima espressione, abbiamo che

In questo procedimento abbiamo eliminato, prima tutti i multipli di due poi tutti i multipli del primo numero rimasto cioè tre, se poi lo facciamo di nuovo con cinque vedremo eliminati tutti i multipli di cinque:

Stiamo progressivamente eliminando tutti i multipli di ogni numero rimasto dopo l'uno (e che quindi è un numero primo visto che non è multiplo di nessun altro numero più piccolo). I numeri del prodotto prima dell'uguale quindi saranno tutti primi. Quindi ripetendo infinite volte il procedimento:

E in conclusione:

Q.E.D

Seconda Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

si può considerare il termine

come il numero a cui converge la serie geometrica

Quindi il prodotto di Eulero diviene:

E svolgendolo

È chiaro che nel termine a destra dell'uguale appariranno prima o poi tutte le possibili combinazioni di numeri primi possibili (e a qualsiasi potenza). Per il teorema fondamentale dell'aritmetica abbiamo che queste combinazioni forniscono tutti i numeri naturali. Possiamo dunque riordinare i termini così:

Quindi:

Q.E.D

Infiniti numeri primi[modifica | modifica wikitesto]

Tramite questa formula Eulero diede una dimostrazione dell'infinità dei numeri primi. Infatti se si inserisce nella formula il numero 1 si ha:

E siccome la somma nel primo membro è la serie armonica, che diverge, anche il prodotto deve farlo. Ma ciò è possibile solo se i suoi membri sono infiniti e quindi se esistono infiniti numeri primi.

Generalizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Attraverso le dimostrazioni si può generalizzare questa formula per ogni funzione moltiplicativa a(x):

Dove P(p,s) è la serie:

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Moltissime funzioni possono essere espresse con il prodotto di Eulero. Queste funzioni danno origine a prodotti molto simili a quello sopra illustrato per la funzione zeta di Riemann. Capita dunque di trovare collegamenti tra queste serie di funzioni e la funzione zeta. Ad esempio:

Il prodotto di Eulero per la funzione di Moebius  :

.

E quello per il suo valore assoluto:

.

Il prodotto per la funzione di Liouville:

.

E altri che utilizzano la funzione zeta come:

Dove è il numero di fattori primi distinti di n

E anche

dove σ(n) è la somma di tutti i divisori di n (1 e n compresi).

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Apostol, p. 230

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, New York, Springer-Verlag, 1976, ISBN 0-387-90163-9.
  • John Derbyshire, L'ossessione dei numeri primi, Bollati Boringhieri, 2006, ISBN 88-339-1706-1

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]


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