Serie geometrica

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Una serie geometrica è una serie tale per cui il rapporto tra due termini successivi è costante.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La serie geometrica è una serie del tipo . In modo equivalente, può essere definita come il limite della successione delle somme parziali , in cui:

La somma parziale -esima di una serie geometrica è dunque la somma per che va da zero ad di . Il rapporto di ogni termine della somma rispetto al termine precedente è costantemente uguale a ed è detto ragione della serie.

Questo tipo di serie ricorre con una particolare frequenza nell'analisi degli algoritmi; in molti casi il valore di questi ultimi può essere calcolato direttamente con le formule illustrate successivamente. Una delle espressioni più comuni è proprio la somma parziale della nota serie geometrica.

Formule[modifica | modifica wikitesto]

Possiamo dimostrare che in diversi modi.

Dimostrazione 1

Consideriamo: Moltiplicando entrambi i membri della precedente equazione per . Vediamo che i termini del polinomio da a si semplificano con i corrispondenti della sommatoria:

Spostando il termine al secondo membro si ottiene rapidamente la somma per la serie geometrica:

Dimostrazione 2

Un altro modo semplicemente algebrico per arrivare alla somma da ad n consiste nel partire da:

quindi sottrarre e dividere tutto per ambo i membri
poiché allora possiamo scrivere
facendo tutti i passaggi algebrici, da quest'ultima equazione, otteniamo:
con un ultimo passaggio è la somma che stavamo cercando.
Dimostrazione 3

È possibile dimostrare che anche per induzione. Osserviamo che per si ottiene pertanto la base induttiva è verificata. Supponiamo che la formula sia vera per , ovvero che la somma dei primi termini valga proprio , allora la somma dei primi termini vale

Pertanto la formula, supposta vera per i primi termini, è vera anche per i primi termini, pertanto è stato dimostrato per induzione matematica che:

Osserviamo che tale formula è valida per , se la somma vale banalmente .

Se la serie non parte da , ma da un altro termine , allora

Derivando la somma rispetto a si possono trovare formule per somme del tipo

ad esempio:

Comportamento della serie[modifica | modifica wikitesto]

La serie ha il seguente carattere:

  • divergente per perché si ha e per il teorema del confronto diverge.
  • indeterminata per perché si ha e non esiste (alcuni testi riportano, per questo caso, il carattere divergente, intendendo che ).
  • indeterminata nel caso , poiché la funzione somma oscilla tra e .
  • convergente quando

Se infatti la somma della serie esiste e vale

.

Quest'ultima formula è valida in ogni algebra di Banach con la condizione che la norma di sia minore di , e anche nel campo dei numeri p-adici se . In particolare è valida nel campo dei numeri complessi con l'usuale definizione di valore assoluto.

Dimostrazione alternativa

Si ha che  ;

allora .

Pertanto vale .

A questo punto, se e solo se , ha senso scrivere: , c.v.d.

Come nel caso delle somme finite, possiamo derivare la serie per trovare le formule di somme analoghe. Ad esempio:

Questa formula naturalmente è valida solo per .

Stima della somma[modifica | modifica wikitesto]

Per effettuare la stima della somma geometrica infinita in modo generale spezziamo la serie come segue

ricordando che la serie geometrica ha somma pari a otteniamo che

Serie geometrica troncata[modifica | modifica wikitesto]

Se si pone che si ha che:

viene chiamata serie geometrica troncata. La serie geometrica troncata è alla base delle stime di somme molto complesse. Utilizzando l'operatore (dove per si intende la derivata) si ha che

riconducendosi alla serie geometrica troncata.

Stima della somma parziale per i = 1[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri la somma delle potenze di grado :

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Si vuole calcolare la seguente sommatoria:

.

Consideriamo la funzione

e osserviamo che la sua derivata è data da

questo significa che

e quindi il nostro problema si riduce a valutare la derivata di in . Poiché otteniamo

e di conseguenza

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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