Monoide

Nell'algebra astratta, una branca della matematica, un monoide è una struttura algebrica dotata dell'operazione binaria associativa e di un elemento neutro. I monoidi sono studiati nella teoria dei semigruppi in quanto sono semigruppi dotati di elemento neutro.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un monoide è un insieme M munito di una singola operazione binaria * che ad ogni coppia di elementi a, b di M associa l'elemento a*b, rispettando i seguenti assiomi:

Chiusura: Per ogni a, b appartenenti a M, l'elemento a*b appartiene ancora a M, vale a dire che M è chiuso rispetto al prodotto (l'insieme che soddisfa questa proprietà si chiama magma)

Associatività: Il prodotto è associativo: dati a, b, c appartenenti a M, vale (ab)c = a(bc) (l'insieme che soddisfa questa proprietà e la chiusura si chiama semigruppo)

Elemento neutro: Esiste in $M$ un elemento neutro $e$ tale che $ae=ea=a$ per ogni $a$ in $M$ .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Partendo dagli assiomi formulati si dimostra che l'elemento neutro è univocamente determinato. Se $e$ , $f$ sono entrambi elementi neutri, si ha $f=ef=e$ , dove la prima eguaglianza segue dal fatto che $e$ è un elemento neutro, e la seconda dal fatto che lo è $f$ .

Un monoide è quindi un Semigruppo unitario, ovvero un Magma associativo unitario.

Monoidi e gruppi[modifica | modifica wikitesto]

Un gruppo è un monoide dotato di elemento inverso.

Un elemento $a$ del monoide $M$ si dice invertibile se esiste in $M$ un suo inverso, cioè un elemento $b$ in $M$ tale che $ab=ba=e$ . Se esiste, questo elemento $b$ è univocamente determinato, e può dunque essere chiamato l'inverso di $a$ . Infatti se $b$ , $c$ sono entrambi inversi di $a$ , si ha $b=be=b(ac)=(ba)c=ec=c$ , dove le eguaglianze seguono nell'ordine dalla definizione di elemento neutro, dal fatto che $c$ è un inverso di $a$ , dalla proprietà associativa, dal fatto che $b$ è un inverso di $a$ , e ancora dalla definizione di elemento neutro.

Se ogni elemento di un monoide $M$ è invertibile, allora $M$ è un gruppo.

Più in generale, sia $M$ un monoide qualsiasi, e sia $G$ l'insieme degli elementi invertibili di $M$ . Intanto, $G$ non è vuoto, perché si vede subito che contiene $e$ . E poi si può vedere che $G$ è un gruppo rispetto alla stessa operazione di $M$ . Il gruppo $G$ viene detto il gruppo degli elementi invertibili del monoide $M$ .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

L'insieme dei numeri interi $\mathbb {Z}$ con l'operazione prodotto è un monoide commutativo dove l'elemento neutro è 1 e gli elementi invertibili sono 1 e -1.

Un esempio tipico di monoide è dato dalle funzioni $f:X\to X$ definite da un insieme in sé stesso dove il prodotto è dato dalla composizione $(f(g))(x):=(f\circ g)(x)=f(g(x))$ . L'elemento neutro è dato dalla funzione identità $id:X\to X,id(x):=x$ . Il gruppo degli elementi invertibili è formato in questo caso dalle funzioni biiettive.

Un altro esempio di monoide è dato dall'insieme delle matrici quadrate di ordine n su cui si consideri l'operazione prodotto righe per colonne. In questo caso l'elemento neutro è dato dalla matrice identità.