Congettura abc

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La congettura abc (anche nota come congettura di Oesterle-Masser) è stata proposta per la prima volta da Joseph Oesterlé e David Masser nel 1985. La congettura è definita in funzione di tre numeri interi positivi (da cui deriva il nome), privi di fattori comuni diversi da , e che soddisfino la relazione . Se è definito come il prodotto dei fattori distinti di , la congettura, essenzialmente, afferma che raramente è molto più piccolo di .

Sebbene non esista alcuna strategia elementare per risolvere il problema, la congettura è ritenuta molto importante per il numero di conseguenze interessanti che ne derivano. Dorian M. Goldfeld ha definito la congettura abc come "il più importante problema irrisolto dell'analisi diofantea"[1].

Nell'agosto del 2012 Shinichi Mochizuki ha pubblicato un articolo con una possibile dimostrazione della congettura. Mochizuki ha chiamato il teorema che utilizza nella dimostrazione il teorema inter-universale Teichmüller. Questo può essere utilizzato anche per dimostrare la congettura di Szpiro e la congettura di Vojta.[2][3][4]

Formulazioni[modifica | modifica wikitesto]

Per un numero intero positivo , il radicale di , definito , è il prodotto dei distinti (non ripetuti, ovvero senza considerare l'esponente) fattori primi di . Per esempio:

  • ,
  • ,
  • .

Se , e sono interi positivi coprimi[5] tali che

si scopre che "di solito"

1[modifica | modifica wikitesto]

La congettura abc sostiene che, tranne poche eccezioni, per ogni infinitesimo ε > 0 esiste solo un numero finito di triplette di coprimi interi positivi con tali che:

2[modifica | modifica wikitesto]

Una formulazione equivalente è che per ogni esiste una costante tale che, per tutte le triplette di interi positivi coprimi che soddisfano , la seguente disuguaglianza

risulta vera.

3[modifica | modifica wikitesto]

Una terza formulazione della congettura implica la qualità di una tripletta , definita come:

Per esempio:

Una tipica tripletta di interi positivi coprimi con avrà , per esempio . Le triplette con come nel secondo esempio sono piuttosto speciali, poiché consistono in numeri divisibili per potenze elevate di piccoli numeri primi.

La congettura abc sostiene che, per ogni , esiste solo un numero finito di triplette di interi positivi coprimi con tale che:

Mentre è noto che esistono infinite triplette di interi positivi coprimi con tali che , la congettura predice che solo un numero finito di queste hanno oppure o perfino , ecc.

Conseguenze[modifica | modifica wikitesto]

La congettura non è stata dimostrata, ma ha un vasto numero di interessanti conseguenze. Queste includono sia risultati già conosciuti, che congetture per le quali essa fornisce una dimostrazione condizionale:

Anche se il primo gruppo di queste conseguenze è ora stato dimostrato, la congettura abc stessa rimane di interesse a causa delle numerose profonde implicazioni che ha nella teoria dei numeri.

Risultati parziali[modifica | modifica wikitesto]

Non è noto se può essere maggiorato da una funzione approssimativamente lineare del radicale di , come la congettura abc dichiara, o se può essere addirittura limitato da un polinomiale. Tuttavia, i limiti esponenziali sono noti. In particolare, sono state dimostrate le seguenti limitazioni:

(C. L. Stewart & R. Tijdeman 1986),
(C. L. Stewart & Kunrui Yu 1991), e
(C. L. Stewart & Kunrui Yu 1996).

In questi, è una costante che non dipende da , , o ; e sono costanti che dipendono da (in un modo calcolabile) ma non da , , o . Questi limiti si applicano a qualunque tripletta in cui .

Triplette con radicali piccoli[modifica | modifica wikitesto]

La condizione che è necessaria per la validità della congettura, così come l'esistenza di una moltitudine infinita di triplette , , con .

Per esempio, una tale tripletta può essere questa:

Siccome e contribuiscono insieme solo per un fattore di due al radicale, mentre è divisibile per , allora

per questi esempi. Sostituendo l'esponente agli altri esponenti costringendo ad avere fattori quadratici elevati, il rapporto fra il radicale e può essere arbitrariamente grande.

Un'altra tripletta con un radicale particolarmente piccolo fu trovata da Eric Reyssat[13]:

Progetti di calcolo distribuito (grid computing)[modifica | modifica wikitesto]

Nel 2006, il Dipartimento di Matematica dell'Università di Leida, nei Paesi Bassi, insieme con l'istituto di scienze tedesco Kennislink, ha lanciato il progetto ABC@Home, un sistema grid computing che ambisce a trovare triplette addizionali , , con . Sebbene nessun finito insieme di esempi o controesempi può risolvere la congettura abc, si spera che le caratteristiche delle triplette scoperte da questo progetto possano aiutare a comprendere meglio la congettura e la teoria dei numeri più in generale.

Il suo obiettivo attuale è di ottenere una lista completa di tutte le triplette con non più grande di 1018[14].

Ad aprile 2011 il progetto dichiara di avere scoperto 21,1 milioni di triplette abc[15].

Forme raffinate e generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Nel 1996 il matematico Alan Baker ha proposto un'importante disuguaglianza, sostenendo che nelle disuguaglianze con cui è stata formulata la congettura abc, il può essere sostituito da:

dove è il numero totale dei primi distinti che dividono , e . Una congettura correlata di Andrew Granville sostiene che nella parte destra della disuguaglianza possiamo mettere:

dove è il numero di interi fino a divisibile solo dai primi che dividono .

Nel 1994, Jerzy Browkin e Juliusz Brzeziński formularono la congettura n[16], una versione della congettura abc che coinvolge gli interi .

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Dorian Goldfeld, Beyond the last theorem, in Math Horizons, 1996, pp. 26–34.
  2. ^ Shinichi Mochizuki, Inter-Universal Teichmüller Theory IV: Log-Volume Computations and Set-Theoretic Foundations (PDF), Working Paper, agosto 2012.
  3. ^ Proof claimed for deep connection between primes, Nature News, 10 September 2012
  4. ^ ABC conjecture at the Polymath Wiki
  5. ^ Notare che se c, la coprimalità di , e implica la coprimalità di ciascuna delle coppie formate da , , . Quindi in questo caso non ha importanza quale concetto usiamo.
  6. ^ N. D. Elkies, ABC implies Mordell, in Intern. Math. Research Notices, vol. 7, 1991, pp. 99–109, DOI:10.1155/S1073792891000144.
  7. ^ M. Langevin, Cas d'égalité pour le théorème de Mason et applications de la conjecture abc, in Comptes rendus de l'Académie des sciences, vol. 317, 1993, pp. 441–444. (FR)
  8. ^ Joseph H. Silverman, Wieferich's criterion and the abc-conjecture, in Journal of Number Theory, vol. 30, 1988, pp. 226–237, DOI:10.1016/0022-314X(88)90019-4.
  9. ^ (FR) Abderrahmane Nitaj, La conjecture abc, in Enseign. Math., vol. 42, 1996, pp. 3–24.
  10. ^ Carl Pomerance, Computational Number Theory, in The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, 2008, pp. 361–362.
  11. ^ http://www.math.uu.nl/people/beukers/ABCpresentation.pdf
  12. ^ Andrzej Dąbrowski, On the diophantine equation , in Nieuw Archief voor Wiskunde, IV., vol. 14, 1996, pp. 321–324.
  13. ^ Lando and Zvonkin, p.137
  14. ^ Data collected sofar, ABC@Home. URL consultato il 17 aprile 2010.
  15. ^ Data Collected So Far, ABC@Home. URL consultato l'11 aprile 2011.
  16. ^ J. Browkin, J. Brzeziński, Some remarks on the abc-conjecture, in Math. Comp., vol. 62, American Mathematical Society, 1994, pp. 931–939, DOI:10.2307/2153551.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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