Congettura abc

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La congettura abc (anche nota come congettura di Oesterle-Masser) è stata proposta per la prima volta da Joseph Oesterlé e David Masser nel 1985. La congettura è definita in funzione di tre numeri interi positivi (da cui deriva il nome), privi di fattori comuni diversi da , e che soddisfino la relazione . Se è definito come il prodotto dei fattori primi distinti di , la congettura, essenzialmente, afferma che raramente è molto più piccolo di .

Sebbene non esista alcuna strategia elementare per risolvere il problema, la congettura è ritenuta molto importante per il numero di conseguenze interessanti che ne derivano. Dorian M. Goldfeld ha definito la congettura abc come "il più importante problema irrisolto dell'analisi diofantea"[1].

Formulazioni[modifica | modifica wikitesto]

Per un numero intero positivo , il radicale di , definito , è il prodotto dei distinti (non ripetuti, ovvero senza considerare l'esponente) fattori primi di . Per esempio:

  • ,
  • ,
  • .

Se , e sono interi positivi coprimi[2] tali che

si scopre che "di solito"

1[modifica | modifica wikitesto]

La congettura abc sostiene che, tranne poche eccezioni, per ogni infinitesimo ε > 0 esiste solo un numero finito di triplette di coprimi interi positivi con tali che:

2[modifica | modifica wikitesto]

Una formulazione equivalente è che per ogni esiste una costante tale che, per tutte le triplette di interi positivi coprimi che soddisfano , la seguente disuguaglianza

risulta vera.

3[modifica | modifica wikitesto]

Una terza formulazione della congettura implica la qualità di una tripletta , definita come:

Per esempio:

Una tipica tripletta di interi positivi coprimi con avrà , per esempio . Le triplette con come nel secondo esempio sono piuttosto speciali, poiché consistono in numeri divisibili per potenze elevate di piccoli numeri primi.

La congettura abc sostiene che, per ogni , esiste solo un numero finito di triplette di interi positivi coprimi con tale che:

Mentre è noto che esistono infinite triplette di interi positivi coprimi con tali che , la congettura predice che solo un numero finito di queste hanno oppure o perfino , ecc.

Conseguenze[modifica | modifica wikitesto]

La congettura non è stata dimostrata, ma ha un vasto numero di interessanti conseguenze. Queste includono sia risultati già conosciuti, che congetture per le quali essa fornisce una dimostrazione condizionale:

Anche se il primo gruppo di queste conseguenze è ora stato dimostrato, la congettura abc stessa rimane di interesse a causa delle numerose profonde implicazioni che ha nella teoria dei numeri.

Risultati parziali[modifica | modifica wikitesto]

Non è noto se può essere maggiorato da una funzione approssimativamente lineare del radicale di , come la congettura abc dichiara, o se può essere addirittura limitato da un polinomiale. Tuttavia, i limiti esponenziali sono noti. In particolare, sono state dimostrate le seguenti limitazioni:

(C. L. Stewart & R. Tijdeman 1986),
(C. L. Stewart & Kunrui Yu 1991), e
(C. L. Stewart & Kunrui Yu 1996).

In questi, è una costante che non dipende da , , o ; e sono costanti che dipendono da (in un modo calcolabile) ma non da , , o . Questi limiti si applicano a qualunque tripletta in cui .

Triplette con radicali piccoli[modifica | modifica wikitesto]

La condizione che è necessaria per la validità della congettura, così come l'esistenza di una moltitudine infinita di triplette , , con .

Per esempio, una tale tripletta può essere questa:

Siccome e contribuiscono insieme solo per un fattore di due al radicale, mentre è divisibile per , allora

per questi esempi. Sostituendo l'esponente agli altri esponenti costringendo ad avere fattori quadratici elevati, il rapporto fra il radicale e può essere arbitrariamente grande.

Un'altra tripletta con un radicale particolarmente piccolo fu trovata da Eric Reyssat[9]:

Progetti di calcolo distribuito (grid computing)[modifica | modifica wikitesto]

Nel 2006, il Dipartimento di Matematica dell'Università di Leida, nei Paesi Bassi, insieme con l'istituto di scienze tedesco Kennislink, ha lanciato il progetto ABC@Home, un sistema grid computing che ambisce a trovare triplette addizionali , , con . Sebbene nessun finito insieme di esempi o controesempi può risolvere la congettura abc, si spera che le caratteristiche delle triplette scoperte da questo progetto possano aiutare a comprendere meglio la congettura e la teoria dei numeri più in generale.

Il suo obiettivo attuale è di ottenere una lista completa di tutte le triplette con non più grande di 1018[10].

Ad aprile 2011 il progetto dichiara di avere scoperto 21,1 milioni di triplette abc[11].

Forme raffinate e generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Nel 1996 il matematico Alan Baker ha proposto un'importante disuguaglianza, sostenendo che nelle disuguaglianze con cui è stata formulata la congettura abc, il può essere sostituito da:

dove è il numero totale dei primi distinti che dividono , e . Una congettura correlata di Andrew Granville sostiene che nella parte destra della disuguaglianza possiamo mettere:

dove è il numero di interi fino a divisibile solo dai primi che dividono .

Nel 1994, Jerzy Browkin e Juliusz Brzeziński formularono la congettura n[12], una versione della congettura abc che coinvolge gli interi .

Proposta di dimostrazione di Mochizuki[modifica | modifica wikitesto]

Nell'agosto 2012, Shinichi Mochizuki dell'Università di Kyoto ha affermato di aver risolto la congettura di Szpiro, e quindi anche la congettura abc, in una serie di articoli in cui viene sviluppata la "teoria di Teichmüller inter-universale".[13][14][15] Nel 2020 è stato annunciato che la dimostrazione verrà pubblicata sulla rivista Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS), di cui Mochizuki è editore. Vari matematici, quali Peter Scholze e Jakob Stix,[16] hanno tuttavia dichiarato di non credere alla correttezza della dimostrazione che è vista con forte scetticismo dalla comunità matematica. [17]

La pubblicazione della dimostrazione, suddivisa in 4 articoli di una lunghezza totale pari a quasi 650 pagine e piena di riferimenti ad articoli precedenti dello stesso Mochizuki, è avvenuta nel 2021.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Dorian Goldfeld, Beyond the last theorem, in Math Horizons, 1996, pp. 26–34.
  2. ^ Notare che se c, la coprimalità di , e implica la coprimalità di ciascuna delle coppie formate da , , . Quindi in questo caso non ha importanza quale concetto usiamo.
  3. ^ N. D. Elkies, ABC implies Mordell, in Intern. Math. Research Notices, vol. 7, 1991, pp. 99–109, DOI:10.1155/S1073792891000144.
  4. ^ M. Langevin, Cas d'égalité pour le théorème de Mason et applications de la conjecture abc, in Comptes rendus de l'Académie des sciences, vol. 317, 1993, pp. 441–444. (FR)
  5. ^ Joseph H. Silverman, Wieferich's criterion and the abc-conjecture, in Journal of Number Theory, vol. 30, 1988, pp. 226–237, DOI:10.1016/0022-314X(88)90019-4.
  6. ^ (FR) Abderrahmane Nitaj, La conjecture abc, in Enseign. Math., vol. 42, 1996, pp. 3–24.
  7. ^ Carl Pomerance, Computational Number Theory, in The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, 2008, pp. 361–362.
  8. ^ (EN) Frits Beukers, The ABC-conjecture (PDF), 9 settembre 2005. URL consultato il 17 luglio 2020.
  9. ^ Lando and Zvonkin, p.137
  10. ^ Data collected sofar, ABC@Home. URL consultato il 17 aprile 2010 (archiviato dall'url originale il 15 maggio 2014).
  11. ^ Data Collected So Far, su abcathome.com, ABC@Home. URL consultato l'11 aprile 2011 (archiviato dall'url originale il 15 maggio 2014).
  12. ^ J. Browkin, J. Brzeziński, Some remarks on the abc-conjecture, in Math. Comp., vol. 62, American Mathematical Society, 1994, pp. 931–939, DOI:10.2307/2153551.
  13. ^ Shinichi Mochizuki, Inter-Universal Teichmüller Theory IV: Log-Volume Computations and Set-Theoretic Foundations (PDF), Working Paper, agosto 2012. URL consultato il 12 settembre 2012 (archiviato dall'url originale il 28 dicembre 2016).
  14. ^ Proof claimed for deep connection between primes, Nature News, 10 September 2012
  15. ^ ABC conjecture at the Polymath Wiki, su michaelnielsen.org.
  16. ^ Peter Scholze Scholze e Jakob Stix, Why abc is still a conjecture (PDF), su kurims.kyoto-u.ac.jp. URL consultato il 17 luglio 2020 (archiviato dall'url originale l'8 febbraio 2020).
  17. ^ Davide Castelvecchi, Mathematical proof that rocked number theory will be published, in Nature, 3 aprile 2020, DOI:10.1038/d41586-020-00998-2.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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