Limite insiemistico

In matematica, il limite di una successione di insiemi, $(A_{n})_{n}$, è un insieme che contiene gli elementi che sono contenuti in un numero infinito di insiemi $A_{n}$ e che sono esclusi al più da un numero finito di essi.

Successioni monotone

Una successione di insiemi $(A_{n})_{n}$ viene detta monotona se è:

• crescente (si indica con $A_{n}\uparrow$), ovvero se $\forall n\in \mathbb {N} :A_{n}\subseteq A_{n+1}$;
• decrescente (si indica con $A_{n}\downarrow$), ovvero se $\forall n\in \mathbb {N} :A_{n}\supseteq A_{n+1}$.

In una successione crescente, fissato un n si ha:

$\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=A_{n}$

Il limite di una successione crescente per n tendente all'infinito è definito da:

$\lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}=A$

ed è quindi l'insieme che contiene gli elementi appartenenti a tutti gli insiemi da un certo indice in poi. In simboli: $A_{n}\uparrow A$.

In una successione decrescente, fissato un n si ha:

$\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}=A_{n}$

Il limite di una successione decrescente per n tendente all'infinito è definito da:

$\lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}=\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}=A$

ed è l'insieme che contiene gli elementi contenuti in tutti gli insiemi. In simboli: $A_{n}\downarrow A$.

Successioni qualsiasi

In generale, data una qualsiasi successione di insiemi, si definiscono:

• limite inferiore:

$\liminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}={\bigcup _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcap _{i=n}^{\infty }}A_{i}\right)$

l'insieme che contiene gli elementi che appartengono a tutti gli insiemi $A_{i}$ a partire da un indice $n$ in poi (non quelli che appartengono solo agli insiemi $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n-1}$, che sono in numero finito);

• limite superiore:

$\limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}={\bigcap _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}A_{m}\right)$

l'insieme che contiene gli elementi che appartengono a tutte le unioni $\cup _{i=n}^{\infty }A_{i}$; in altri termini, un elemento appartiene al limite superiore se, per qualsiasi $n$, esiste almeno un indice $j\geq n$ tale che l'elemento appartenga ad un insieme $A_{j}$ e, perché ciò si verifichi, è sufficiente che l'elemento appartenga ad infiniti insiemi della successione.

La definizione del limite inferiore è più restrittiva e si ha quindi sempre:

$\liminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}\subseteq \limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}$

Se il limite inferiore e quello superiore coincidono, la successione è detta convergente ed il suo limite è:

$\lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\liminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}$

Usando la notazione della funzione indicatrice, si può anche dire che l'insieme limite è definito come:

$\lim _{n\to \infty }A_{n}=\{x:\lim _{n\to \infty }\chi _{A_{n}}(x)=1\}$

Voci correlate

• Lemma di Borel-Cantelli