Limite insiemistico

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In matematica, il limite di una successione di insiemi, (A_n)_n, è un insieme che contiene gli elementi che sono contenuti in un numero infinito di insiemi A_n e che sono esclusi al più da un numero finito di essi.

Successioni monotone[modifica | modifica wikitesto]

Una successione di insiemi (A_n)_n viene detta monotona se è:

  • crescente (si indica con A_n\uparrow), ovvero se \forall n\in\N: A_n \subseteq A_{n+1};
  • decrescente (si indica con A_n\downarrow), ovvero se \forall n\in\N: A_n \supseteq A_{n+1}.

In una successione crescente, fissato un n si ha:

\bigcup_{i=1}^nA_i=A_n

Il limite di una successione crescente per n tendente all'infinito è definito da:

\lim_{n\rightarrow\infty}A_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\bigcup_{i=1}^n A_i=\bigcup_{i=1}^\infty A_i=A

ed è quindi l'insieme che contiene gli elementi appartenenti a tutti gli insiemi da un certo indice in poi. In simboli: A_n\uparrow A.

In una successione decrescente, fissato un n si ha:

\bigcap_{i=1}^nA_i=A_n

Il limite di una successione decrescente per n tendente all'infinito è definito da:

\lim_{n\rightarrow\infty}A_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\bigcap_{i=1}^n A_i=\bigcap_{i=1}^\infty A_i=A

ed è l'insieme che contiene gli elementi contenuti in tutti gli insiemi. In simboli: A_n\downarrow A.

Successioni qualsiasi[modifica | modifica wikitesto]

In generale, data una qualsiasi successione di insiemi, si definiscono:

\liminf_{n\rightarrow\infty}A_n={\bigcup_{n=1}^\infty}\left({\bigcap_{i=n}^\infty}A_i\right)
l'insieme che contiene gli elementi che appartengono a tutti gli insiemi A_i a partire da un indice n in poi (non quelli che appartengono solo agli insiemi A_1,A_2,\dots,A_{n-1}, che sono in numero finito);
\limsup_{n\rightarrow\infty}A_n={\bigcap_{n=1}^\infty}\left({\bigcup_{m=n}^\infty}A_m\right)
l'insieme che contiene gli elementi che appartengono a tutte le unioni \cup_{i=n}^\infty A_i; in altri termini, un elemento appartiene al limite superiore se, per qualsiasi n, esiste almeno un indice j\ge n tale che l'elemento appartenga ad un insieme A_j e, perché ciò si verifichi, è sufficiente che l'elemento appartenga ad infiniti insiemi della successione.

La definizione del limite inferiore è più restrittiva e si ha quindi sempre:

\liminf_{n\rightarrow\infty}A_n\subseteq\limsup_{n\rightarrow\infty}A_n

Se il limite inferiore e quello superiore coincidono, la successione è detta convergente ed il suo limite è:

\lim_{n\rightarrow\infty}A_n=\liminf_{n\rightarrow\infty}A_n=\limsup_{n\rightarrow\infty}A_n

Usando la notazione della funzione indicatrice, si può anche dire che l'insieme limite è definito come:

\lim_{n \to \infty} A_n = \{ x : \lim_{n \to \infty} \chi_{A_n}(x)=1 \}

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]


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