Limite insiemistico

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In matematica, il limite di una successione di insiemi, , è un insieme che contiene gli elementi che sono contenuti in un numero infinito di insiemi e che sono esclusi al più da un numero finito di essi.

Successioni monotone[modifica | modifica wikitesto]

Una successione di insiemi viene detta monotona se è:

  • crescente (si indica con ), ovvero se ;
  • decrescente (si indica con ), ovvero se .

In una successione crescente, fissato un n si ha:

Il limite di una successione crescente per n tendente all'infinito è definito da:

ed è quindi l'insieme che contiene gli elementi appartenenti a tutti gli insiemi da un certo indice in poi. In simboli: .

In una successione decrescente, fissato un n si ha:

Il limite di una successione decrescente per n tendente all'infinito è definito da:

ed è l'insieme che contiene gli elementi contenuti in tutti gli insiemi. In simboli: .

Successioni qualsiasi[modifica | modifica wikitesto]

In generale, data una qualsiasi successione di insiemi, si definiscono:

l'insieme che contiene gli elementi che appartengono a tutti gli insiemi a partire da un indice in poi (non quelli che appartengono solo agli insiemi , che sono in numero finito);
l'insieme che contiene gli elementi che appartengono a tutte le unioni ; in altri termini, un elemento appartiene al limite superiore se, per qualsiasi , esiste almeno un indice tale che l'elemento appartenga ad un insieme e, perché ciò si verifichi, è sufficiente che l'elemento appartenga ad infiniti insiemi della successione.

La definizione del limite inferiore è più restrittiva e si ha quindi sempre:

Se il limite inferiore e quello superiore coincidono, la successione è detta convergente ed il suo limite è:

Usando la notazione della funzione indicatrice, si può anche dire che l'insieme limite è definito come:

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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