Disuguaglianza

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In matematica una disuguaglianza (o diseguaglianza) è una relazione d'ordine totale sull'insieme dei numeri reali o su un suo sottoinsieme.

Può essere intesa in senso largo o in senso stretto, a seconda che la relazione d'ordine sia riflessiva o meno. Nei due casi vengono utilizzate le coppie di simboli e , oppure e .

Gli stessi simboli possono essere utilizzati per "confrontare" due funzioni a valori reali.

Notazione[modifica | modifica wikitesto]

La disuguaglianza in senso largo si indica con le scritture equivalenti e , che si leggono " è maggiore o uguale a " e " è minore o uguale ad ".

La disuguaglianza in senso stretto si indica invece le scritture equivalenti e , lette " è maggiore di " e " è minore di ".

Questa notazione può essere confusa con la notazione graficamente simile (o ), utilizzata con due diversi significati: sia per indicare che un numero è sufficientemente più grande di un altro (" è molto maggiore di "), sia per indicare che una funzione è asintoticamente più grande di un'altra (" domina "). In entrambi i casi non è una disuguaglianza, ma solamente una relazione d'ordine parziale, ovvero può non permettere di confrontare tra loro due distinti elementi dell'insieme.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Ordine totale[modifica | modifica wikitesto]

Se la disuguaglianza è stretta:

Ogni coppia di elementi distinti è confrontabile, ovvero: , si verifica una e una sola relazione tra: e .

Se la disuguaglianza è larga:

Ogni coppia di elementi è confrontabile, ovvero: si verifica una relazione tra: e .

Antisimmetria e tricotomia[modifica | modifica wikitesto]

Se la disuguaglianza è stretta, allora vale la tricotomia:

vale una e una sola delle tre relazioni .

Se la disuguaglianza è larga, allora vale l'antisimmetria:

.

Somma e sottrazione[modifica | modifica wikitesto]

Le disuguaglianze vengono preservate se ad entrambi i termini viene aggiunto o sottratto uno stesso numero:

  • per ogni tre numeri reali e sono equivalenti: , , .

Lo stesso vale con la disuguaglianza in senso largo.

Questa proprietà indica che confrontare due numeri e è equivalente a verificare se la loro differenza è positiva o negativa, ovvero a confrontare e . Inoltre equivale a , così come equivale a .

Questa proprietà in generale descrive i gruppi ordinati.

Moltiplicazione e divisione[modifica | modifica wikitesto]

Le disuguaglianze vengono preservate se entrambi i termini vengono moltiplicati o divisi per uno stesso numero strettamente positivo. Moltiplicando o dividendo per un numero strettamente negativo, invece, le disuguaglianze si scambiano:

  • per ogni terna di numeri reali e ,
    • se allora sono equivalenti: , , ;
    • se allora sono equivalenti: , , .

Lo stesso vale con la disuguaglianza in senso largo.

Per la precedente proprietà, la seconda riga equivale alla prima, scrivendo al posto di .

Queste proprietà in generale descrivono gli anelli ordinati e i campi ordinati (o campi reali).

Funzioni monotone[modifica | modifica wikitesto]

Le disuguaglianze sono alla base della definizione delle funzioni monotòne: le funzioni che conservano o invertono l'ordinamento dei numeri reali, quindi le disuguaglianze, sono funzioni monotone crescenti o decrescenti.
In particolare, le funzioni monotone in senso stretto "mantengono" le disuguaglianze in senso stretto; invece una funzione monotona in senso largo fornisce solamente disuguaglianze in senso largo.

Disequazione[modifica | modifica wikitesto]

A volte si abusa della notazione per la disuguaglianza, scrivendo anche quando è una funzione a valori reali. Con questa notazione si intende che assume solo valori strettamente positivi, ovvero che per ogni nel dominio di . Nello stesso modo, indica che , ovvero che per ogni nel comune dominio di e . Lo stesso capita con la disuguaglianza in senso largo.

Quando il dominio delle funzioni non viene specificato, si parla di disequazione.

Disuguaglianze comuni[modifica | modifica wikitesto]

Alcune "famose" disuguaglianze in matematica sono elencate di seguito.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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