Funzione periodica

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Esempio di una funzione periodica. Con P è indicato il periodo.

In matematica, a livello intuitivo, per funzione periodica si intende una funzione che assume valori che si ripetono esattamente a "intervalli" regolari.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione definita su un gruppo abeliano è periodica di periodo , con , se per ogni .

Funzioni di variabile reale[modifica | modifica wikitesto]

Le funzioni periodiche più note sono le funzioni reali di variabile reale. Formalmente, una funzione reale si dice periodica di periodo se esiste un numero reale tale che

  • il dominio è invariante per traslazione di , ovvero
  • la funzione è invariante per traslazione di , ovvero per ogni si ha .

Moduli[modifica | modifica wikitesto]

Se è periodica di periodo ed è periodica di periodo , allora è periodica di ogni periodo

.

L'insieme dei periodi di è quindi uno -modulo.

  • Se , ovvero se ha il solo periodo , allora è detta aperiodica.
  • Se è un modulo libero di dimensione , ovvero se con , ovvero se esiste un minimo tra i periodi , allora è detta periodica di periodo minimo , o periodica di periodo in senso stretto.
  • Il modulo non è necessariamente libero di dimensione o , ovvero potrebbe non esistere un minimo periodo strettamente positivo; ad esempio, la funzione di Dirichlet ha e non è né aperiodica né periodica in senso stretto.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La somma e il prodotto di due funzioni periodiche di periodo , aventi lo stesso dominio, sono funzioni periodiche di periodo .

Domini limitati[modifica | modifica wikitesto]

Da ogni funzione a valori reali definita su un dominio limitato si può definire una funzione periodica, di periodo maggiore o uguale all'ampiezza del dominio. Ad esempio, la funzione identità ristretta all'intervallo ,

definisce una funzione periodica di periodo 1 definita su tutti i reali: la parte frazionaria

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Le funzioni trigonometriche seno e coseno sono periodiche di periodo minimo .
  • Sono quindi automaticamente periodiche di periodo le funzioni:
    • e , che hanno periodo minimo ;
    • e , che hanno periodo minimo .

Funzioni doppiamente periodiche[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione può ammettere due o più periodi non commensurabili (la definizione dipende dalle caratteristiche che si richiedono al dominio).

Ad esempio, una funzione ellittica è una funzione doppiamente periodica:

è definita dall'insieme dei numeri complessi in sé,
è periodica rispetto a due periodi,
questi due periodi sono "incommensurabili",

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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