Funzioni pari e dispari

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In matematica, le funzioni pari e le funzioni dispari sono funzioni che soddisfano delle particolari relazioni di simmetria riguardo ai valori negativi. Sono importanti in molte aree dell'analisi matematica, in particolare nella teoria delle serie di potenze e delle serie di Fourier.

Funzioni pari[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione a valori reali di variabile reale e sia il suo dominio. Allora è pari se per ogni vale l'equazione:

Geometricamente, il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse .

Il nome pari deriva dal fatto che le serie di Taylor di una funzione pari centrate nell'origine contengono solo potenze pari.

Esempi di funzioni pari sono

Esempio pratico:

Funzioni dispari[modifica | modifica wikitesto]

Ancora sia una funzione a valori reali di variabile reale e sia il suo dominio. Allora è dispari se per ogni sussiste l'equazione:

, vale a dire

Geometricamente, il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine degli assi.

Il nome dispari deriva dal fatto che le serie di Taylor di una funzione dispari centrate nell'origine contengono solo potenze dispari.

Esempi di funzioni dispari sono

Esempio:

Alcune informazioni[modifica | modifica wikitesto]

Mentre l'unione degli interi pari e dispari corrisponde all'intero insieme degli interi, l'unione delle funzioni pari e dispari su un intervallo è incluso propriamente nell'insieme delle funzioni su quell'intervallo.

Proprietà fondamentali[modifica | modifica wikitesto]

  • l'unica funzione che è sia pari che dispari è la funzione costante ;
  • in generale, la somma di una funzione pari e di una dispari non è né pari né dispari; ad esempio ;
  • la somma di due funzioni pari è a sua volta pari, ed il prodotto di una funzione pari per una costante è pure pari;
  • la somma di due funzioni dispari è a sua volta dispari, ed il prodotto di una funzione dispari per una costante è pure dispari;
  • il prodotto di due funzioni pari è una funzione pari;
  • il prodotto di due funzioni dispari è una funzione pari;
  • il prodotto di una funzione pari e di una funzione dispari è una funzione dispari;
  • la derivata di una funzione pari è dispari;
  • la derivata di una funzione dispari è pari;
  • l'integrale su intervalli del tipo di una funzione dispari è 0;
  • l'integrale definito su intervalli del tipo di funzioni pari, ha come risultato il doppio dell'integrale calcolato solo nell'intervallo .

Serie[modifica | modifica wikitesto]

Strutture algebriche[modifica | modifica wikitesto]

  • Ogni combinazione lineare di funzioni pari è pari, e le funzioni pari formano uno spazio vettoriale sui reali. Similarmente, ogni combinazione lineare di funzioni dispari è dispari, e anche le funzioni dispari formano uno spazio vettoriale sui reali. Ogni funzione può essere scritta unicamente come somma di una funzione pari e di una funzione dispari:
  • Le funzioni pari formano un'algebra commutativa sui reali. Tuttavia, le funzioni dispari non formano un campo sui reali.
  • Le funzioni pari e dispari sono ortogonali fra loro. Sia pari e dispari, allora:

ma il prodotto di una funzione pari e una dispari è una funzione dispari:

e quindi:

Inoltre dato che l'unica funzione pari e dispari è lo spazio delle funzioni pari è in somma diretta con quello delle funzioni dispari.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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