Disuguaglianza di Bernoulli

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

La disuguaglianza di Bernoulli afferma che:

per ogni intero n ≥ 0 e ogni numero reale x > -1. La disuguaglianza di Bernoulli è un passo cruciale nella dimostrazione di altre disuguaglianze e si rivela uno strumento fondamentale per importanti dimostrazioni (tra cui quelle di particolari limiti).

Storia[modifica | modifica wikitesto]

La disuguaglianza prende il nome da Jacob Bernoulli, celebre matematico del XVII secolo che ne pubblicò per primo l'enunciato nella seconda pagina trattato Positiones Arithmeticae de Seriebus Infinitis pubblicato a Basilea nel 1689, facendone frequente uso nelle rimanenti parte dell'opera[1]. Bernoulli ne dà una dimostrazione basata sul V libro degli Elementi di Euclide[1], ma André Weil ritiene che Bernoulli fosse consapevole del fatto che la disuguaglianza aveva un significato anche in matematica finanziaria, in cui essa equivale a dire che indebitarsi a interesse composto è più oneroso che a interesse semplice[1]

Secondo quanto riporta Joseph E. Hofmann in un suo articolo sulla Exercitatio Geometrica di Michelangelo Ricci[2] l'enunciazione della diseguaglianza si deve a René-François de Sluse che la espose nell'edizione 1668 del suo trattato sul mesolabio di Eratostene, al capitolo IV, intitolato "De maximis & minimis"[1][3].

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

La disuguaglianza può essere dimostrata per induzione.

La verifica della tesi è banale per n = 0. Si supponga che sia vera per n: per completare l'induzione occorre dimostrare che è vera anche per n + 1. Moltiplicati entrambi i membri per (1 + x), fattore che è sempre maggiore di 0 per ipotesi, si ottiene:

Poiché nx2 ≥ 0, l'omissione di questo termine può solo rendere più forte la relazione di disuguaglianza, quindi:

Q.E.D.

Una versione più debole, in cui si suppone solo , può essere ricavata come immediata conseguenza dello sviluppo binomiale del primo membro:

in cui si trascurano tutti i termini dello sviluppo contenenti potenze di x il cui ordine sia superiore a 1 (si suppone n > 0, visto che per n = 0 la si verifica in modo diretto).

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Se l'esponente n è pari, la disuguaglianza è valida per ogni numero reale x. Se n ≥ 2 e x > −1 con x ≠ 0, allora vale la disuguaglianza stretta:

Vi sono anche delle versioni più forti della disuguaglianza di Bernoulli, per esempio:

per ogni n ≥0 e x ≥0.

La disuguaglianza può anche essere generalizzata ad un qualsiasi esponente reale r. Infatti, se x > −1, allora

per r ≤ 0 oppure r ≥ 1, e

per 0 ≤ r ≤ 1. Questa generalizzazione può essere dimostrata confrontando le derivate. Anche in questo caso, vale la disuguaglianza stretta se x ≠ 0 e r ≠ 0 e da 1.

Disuguaglianze collegate[modifica | modifica wikitesto]

La seguente disuguaglianza fornisce una stima per eccesso della potenza r-esima di 1 + x. Per ogni numero reale x ed r > 0, vale

dove e = 2.718.... È possibile dimostrare questa disuguaglianza sfruttando il fatto che (1 + 1/k)k < e.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b c d (EN) mathematics First use of Bernoulli's inequality and its name - History of Science and Mathematics , su Stack Exchange. URL consultato il 10 maggio 2016.
  2. ^ (DE) Jos. E. Hofmann, Über die Exercitatio Geometrica des M. A. Ricci, in Centaurus, vol. 9, 3 1963/1964, marzo 1964, p. 177, DOI:10.1111/j.1600-0498.1964.tb00443.x, MR 161779.
  3. ^ (LA) René-François de Sluse, Caput IV, in Mesolabum, apud Guilielmum Henricum Streel, serenissimae sua celsitudinis typographum, 1668.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica