Teorema di Taylor

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Il teorema di Taylor, in analisi matematica, è un teorema che fornisce una sequenza di approssimazioni di una funzione differenziabile attorno ad un dato punto mediante i polinomi di Taylor, i cui coefficienti dipendono solo dalle derivate della funzione nel punto.

I polinomi sono tra le funzioni più semplici da utilizzare; molte funzioni possono essere approssimate con polinomi, in modo che tale approssimazione sia "abbastanza" precisa. Il teorema di Taylor spiega in che senso si può ottenere una tale approssimazione utilizzando il polinomio di Taylor. In particolare, la formula di Taylor con il resto di Lagrange si può considerare un'estensione del Teorema di Lagrange: infatti ad una funzione differenziabile in un intervallo , e prolungabile con continuità agli estremi, si può applicare il teorema di Lagrange:

dove . Da questa si ottiene:

che è un caso particolare della formula di Taylor con il resto di Lagrange.

Formula di Taylor per funzioni di una variabile[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo un intervallo ed un punto . Sia derivabile volte nell'intervallo , con , e supponiamo che la derivata -esima sia continua nel punto . Allora, definito il polinomio di Taylor di grado come

si ha che

ove è un infinitesimo di ordine superiore a cioè:

Il resto si può esprimere in varie forme, che possono risultare più o meno utili a seconda della necessità.

Resto di Peano[modifica | modifica wikitesto]

Il resto nella forma di Peano è indicato semplicemente con la notazione di o piccolo:

Nel caso particolare , la formula di Taylor con il resto di Peano diventa:

Essa esprime un'approssimazione della funzione , derivabile nel punto , mediante il polinomio di Taylor

Il grafico di è la retta tangente al grafico di nel punto di coordinate . L'approssimazione suddetta è, in generale, migliore rispetto a quella ottenibile a partire dalla sola continuità, che si può esprimere come

La formula di Taylor con il resto di Peano risulta particolarmente utile nel calcolo di limiti di funzioni.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia derivabile volte in , vogliamo dimostrare che

Dunque abbiamo che

e per definizione di o-piccolo(dove usiamo la convenzione per la "derivata di ordine zero" di ). Questo equivale a

La dimostriamo per induzione. Per la relazione è facilmente verificabile; infatti se esiste la relazione coincide con la condizione di differenziabilità per una funzione di una variabile, ovvero:

Supponiamola vera per e dimostriamola per . Il rapporto che compare nella si presenta nella forma indeterminata per ; osserviamo inoltre che sia il denominatore sia la sua derivata prima , per non assumono mai un valore nullo. Sono dunque soddisfatte le ipotesi per applicare il teorema di de l'Hôpital, e allora il limite nella viene a coincidere con:

nel caso quest'ultimo limite esista. Nelle nostre ipotesi la funzione , che è definita in un intorno destro di , è derivabile volte in e quindi, osservando che

per l'ipotesi induttiva applicata alla funzione segue che il limite nella è zero, ossia (data l'eguaglianza dei limiti per la regola di de l'Hôpital):

il che dimostra il passo induttivo, e con esso la tesi. Q.E.D.

Resto di Lagrange[modifica | modifica wikitesto]

Il resto nella forma di Lagrange afferma che, se la funzione è derivabile volte in un intorno di (si richiede che sia derivabile almeno volte in un intorno del tipo , più un'altra volta in per qualche ) esiste compreso tra e tale che

Questa formula permette di interpretare il teorema di Taylor come una generalizzazione del teorema di Lagrange.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Dimostriamo la tesi per induzione, quando per il teorema del valore medio di Lagrange abbiamo proprio

per qualche e . Supponiamo di aver dimostrato la tesi per e proviamola per , consideriamo che

quindi ancora per il teorema del valore medio di Lagrange applicato a abbiamo

per qualche tra e e qualche tra e , il che completa la dimostrazione.

Resto di Cauchy[modifica | modifica wikitesto]

Il resto nella forma di Cauchy afferma che esiste compreso tra e tale che

Questa forma si può generalizzare nel seguente modo: se è una funzione continua su e differenziabile su con derivata non nulla, allora esiste compreso tra e tale che

generalizzando dunque il teorema di Cauchy.

Resto integrale[modifica | modifica wikitesto]

Il resto nella forma integrale, che al contrario dei precedenti è valido anche se assume valori complessi, afferma che se è assolutamente continua in , allora

Questa forma mostra il teorema di Taylor come una generalizzazione del teorema fondamentale del calcolo.

Formula di Taylor per funzioni di due variabili[modifica | modifica wikitesto]

Per funzioni di più variabili, la scrittura completa si fa più pesante e fa uso dei multiindici:

Formula di Taylor di ordine 1[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione di classe e vogliamo calcolare il polinomio di Taylor in allora:

dove e ed indica il resto: .

Vale come per le funzioni di una variabile che se le derivate seconde sono limitate da un numero , allora l'errore equivale:

Formula di Taylor di ordine 2[modifica | modifica wikitesto]

dove .

Formula di Taylor di ordine 3[modifica | modifica wikitesto]

dove .

Formula di Taylor di ordine n[modifica | modifica wikitesto]

L'ordine n-esimo può essere ricavato svolgendo questa sommatoria:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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