Metodi di integrazione

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1leftarrow blue.svgVoce principale: Integrale.

Un metodo di integrazione è una procedura per il calcolo del valore di una precisa tipologia di integrali. Se l'integrale è risolvibile, per giungere alla soluzione è quasi sempre necessario utilizzare diversi metodi, ad esempio le tavole di integrali.

Oltre ai metodi di integrazione analitici si può ricorrere a metodi di approssimazione numerica o a software di calcolo simbolico. Alcuni metodi numerici sono il metodo di Simpson, il metodo di Lobatto e il metodo del trapezio.

Integrali elementari[modifica | modifica wikitesto]

Il caso più semplice che può capitare è quando si riconosce la funzione integranda essere la derivata di una funzione nota, . In tal caso, come conseguenza delle regole di derivazione, del fatto che la derivata di una funzione costante è la funzione identicamente nulla, e del teorema di Lagrange, si ha:

,

se la funzione è definita su un intervallo. Per gli integrali definiti invece si ha:

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • in quanto
  • in quanto

Integrazione per scomposizione o per decomposizione in somma[modifica | modifica wikitesto]

L'integrazione per scomposizione si rifà alla proprietà di linearità dell'integrale. Infatti dovendo calcolare è talvolta più semplice scrivere e sfruttare l'uguaglianza:

Integrazione di funzioni razionali[modifica | modifica wikitesto]

Gli integrali che rientrano nella forma:

sono integrali di funzioni razionali. Esistono varie metodologie per la risoluzione di tali integrali.

Le prime cose da analizzare sono il grado del numeratore e il grado del denominatore.

Grado del numeratore maggiore o uguale al grado del denominatore[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso in cui il grado del numeratore sia maggiore o uguale al grado del denominatore si effettua la divisione tra polinomi ottenendo il quoziente e il resto :

dalla quale ricaviamo

con polinomio di grado inferiore al grado del divisore . Perciò possiamo scrivere:

riconducendoci al caso di una funzione razionale con grado del numeratore strettamente minore di quello del denominatore.

Grado del numeratore minore del grado del denominatore[modifica | modifica wikitesto]

In questo caso, in generale, si può applicare la scomposizione di Hermite.

Se tra il grado del numeratore e quello del denominatore vi è una differenza unitaria si può provare a modificare opportunamente il numeratore, in modo da ottenere la derivata del denominatore.

Esaminiamo nel dettaglio funzioni razionali con denominatore di 2º grado:

In questo caso distinguiamo tre casi in base allo studio del discriminante (eventualmente dividendo per il termine di grado massimo ci si può sempre riportare ad un polinomio monico al denominatore):

Denominatore con due radici reali distinte[modifica | modifica wikitesto]

Se allora ammette due radici reali distinte e dunque . Esistono dunque due costanti reali tali che:

e si determinano in base alla condizione:

Questa è equivalente al sistema lineare:

che ammette un'unica soluzione in poiché la matrice dei coefficienti ha determinante .

Determinate (risolvendo il sistema), si calcola:

Denominatore con due radici reali coincidenti[modifica | modifica wikitesto]

Se allora ammette due radici reali coincidenti , dunque ed esistono due costanti reali tali che:

si determinano in base alla condizione

Questa è equivalente al sistema lineare:

che ammette un'unica soluzione poiché il determinante della matrice dei coefficienti è

Determinate si calcola:

Denominatore con due radici complesse coniugate[modifica | modifica wikitesto]

Se allora non ammette radici reali. È sempre possibile determinare tali che

si ricavano in base alla condizione

Questo è equivalente al sistema lineare

che ammette un'unica soluzione poiché il determinante della matrice dei coefficienti è .

Ora, per il secondo addendo, è sempre possibile ricavare tali che . Dall'uguaglianza precedente si imposta il sistema dal quale si ricavano e :

che ammette soluzione poiché .

Il calcolo dell'integrale si può scrivere quindi come:

Denominatore di grado qualunque[modifica | modifica wikitesto]

Per concludere segnaliamo che esistono metodi analoghi applicabili per qualunque grado del denominatore: se è un qualsiasi denominatore, allora

  • se esso possiede tutte radici distinte, si procede come nel primo caso qua trattato:
.
  • se esso possiede una o più radici multiple (supponiamo ad esempio siano le prime) di molteplicità , si procede come nel secondo caso:
.
  • se esso possiede due o più radici complesse coniugate semplici (e un certo numero di radici reali), si procede come nel terzo caso:

L'ultimo caso, in cui il denominatore presenta radici complesse multiple, è più laborioso da risolvere (vedi Tavola degli integrali indefiniti di funzioni razionali).

Integrazione per parti[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Integrazione per parti.

Se e sono derivabili in si ha:

ossia:

.

Prendendo l'integrale indefinito di entrambi i membri ed osservando che a meno di una costante si trova la formula di integrazione per parti:

Da cui per gli integrali definiti:

Integrazione per sostituzione[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Integrazione per sostituzione.

dove è la funzione inversa di , oppure nel caso degli integrali definiti

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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