Integrale della funzione inversa

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In matematica, l'integrale di una funzione inversa può essere espresso nei termini della stessa inversa e di una primitiva della funzione non inversa, se questa la possiede. La formula è stata pubblicata nel 1905 da Charles-Ange Laisant[1].

Illustrazione del teorema

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione invertibile e strettamente monotona che ammette una primitiva , con e intervalli di , e sia la sua inversa. Per qualche fissato e per ogni si ha

da cui il corollario immediato con costante reale arbitraria.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Se è anche derivabile con continuità in , ricordando che , per l'integrazione per parti

dove è la derivata della funzione inversa. Se riscriviamo la funzione identità come nell'integrale di partenza, poiché con una primitiva di , per il teorema fondamentale del calcolo integrale otteniamo

QED.

Tuttavia non è necessario che [2] affinché il teorema valga.

Infatti, poiché è una mappa biunivoca , possiamo usare l'integrazione per parti con cambio di variabili dell'integrale di Stieltjes,

L'ultimo integrale è immediato e otteniamo che può però essere riscritto come

QED.

Storia[modifica | modifica wikitesto]

Da quanto è noto, questo teorema è stato pubblicato per la prima volta nel 1905 da Charles-Ange Laisant, e indipendentemente nel 1912 dall'ingegnere italiano Alberto Caprilli nell'opuscolo "Nuove formole d'integrazione"[3], assumendo che o sia differenziabile. Una versione più generale, libera da questa assunzione, fu proposta da Michael Spivak nel 1965 come esercizio nel suo libro Calculus[4], e una dimostrazione sotto le ipotesi ridotte è stata pubblicata in letteratura da Eric Key nel 1994.[5]

Il teorema sotto ipotesi ridotte assume solo che (o ) sia, oltre che integrabile ovviamente, strettamente monotona. La tesi viene dimostrata direttamente usando la definizione di integrale di Darboux. Infatti, se i punti inducono una partizione nell'intervallo di integrazione (di ) , allora induce una partizione nell'intervallo di integrazione di (poiché è strettamente monotona); si può quindi facilmente dimostrare che

dove e sono rispettivamente le somme inferiori e superiori di Darboux. Dal risultato precedente segue la tesi poiché le funzioni sono integrabili.

È bene inoltre notare che, in generale, la (stretta) monotonia sia condizione necessaria, oltre che sufficiente, affinché valga la tesi. Ciò è facilmente dimostrabile considerando apposite funzioni invertibili e integrabili appositamente definite a tratti in forma, per esempio, simile a

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ C.-A. Laisant, Intégration des fonctions inverses, in Nouvelles annales de mathématiques, journal des candidats aux écoles polytechnique et normale, vol. 5, n. 4, 1905, pp. 253–257.
  2. ^ Continuamente differenziabile in .
  3. ^ Read online
  4. ^ Michael Spivak, Calculus (1967), chap. 13, pp. 235.
  5. ^ E. Key, Disks, Shells, and Integrals of Inverse Functions, in The College Mathematics Journal, vol. 25, n. 2, Mar 1994, pp. 136–138, DOI:10.2307/2687137, JSTOR 2687137.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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