Integrale di Darboux

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Nell'analisi matematica, l'integrale di Darboux (o somma di Darboux) è una delle possibili definizioni di integrale di una funzione.

L'integrale di Darboux è equivalente a quello di Riemann, volendo con ciò dire che una funzione è Darboux-integrabile se e solo se è Riemann-integrabile, e i valori dei due integrali, se esistono, sono uguali tra loro. Gli integrali di Darboux hanno il vantaggio di essere più semplici da definire rispetto a quelli di Riemann.

Gli integrali di Darboux prendono nome dal loro scopritore, Gaston Darboux.

Approccio costruttivo[modifica | modifica wikitesto]

Somme di Darboux: inferiore (verde) e superiore (verde + giallo)

Si consideri una funzione , definita su un intervallo chiuso , che su tale intervallo risulti limitata. Si suddivida l'intervallo tramite una partizione in n intervalli , e per ogni sub-intervallo si definiscano le due quantità:

Questi due valori sono l'estremo inferiore e l'estremo superiore delle ordinate dei punti del grafico della funzione limitatamente al sub-intervallo . Tali valori esistono certamente, proprio per il fatto che la funzione è limitata su tutto l'intervallo . Tuttavia, non è detto che siano facilmente calcolabili.

Si definisce somma inferiore di Darboux, relativa alla partizione , il numero reale:

Analogamente, si definisce somma superiore di Darboux, relativa alla partizione , il numero reale:

Da notare che la funzione di cui abbiamo disegnato il grafico è stata scelta positiva solo per comodità. Esiste un lemma che afferma che, data:

allora per ogni coppia di partizioni di si ha:

Siano:

una partizione di e:

una partizione di . Dal lemma precedente possiamo dedurre che gli insiemi sono separati, cioè:

L'assioma di Dedekind sulla completezza di afferma allora che esiste almeno un numero reale tale che:

Se vi è un unico elemento di separazione tra allora si dice che è integrabile in secondo Riemann e l'elemento si indica con:

e si chiama integrale definito di in . I numeri sono detti estremi di integrazione ed è detta funzione integranda. La variabile di integrazione, cioè la variabile della funzione integranda, è una variabile muta, cioè ha lo stesso significato , . La forma differenziale è il differenziale della variabile di integrazione.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

L'integrale di nell'intervallo chiuso e limitato è il limite per che tende ad infinito della somma integrale:

se tale limite esiste finito e non dipende dalla scelta dei punti nel -esimo sottointervallo di :

L'esistenza di un unico elemento separatore tra e nella definizione precedente è equivalente a richiedere che:

in questo caso:

Se la funzione integrabile è positiva allora l'integrale assume il significato di area della regione:

.

Se la funzione cambia segno su allora l'integrale rappresenta una somma di aree con segno diverso.

Proprietà degli integrali[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Proprietà dell'integrale di Riemann.

Linearità[modifica | modifica wikitesto]

Siano e due funzioni continue definite in un intervallo e siano . Allora:

Additività[modifica | modifica wikitesto]

Sia continua e definita in un intervallo e sia . Allora:

Monotonia[modifica | modifica wikitesto]

Siano e due funzioni continue definite in un intervallo e . Allora:

Teorema del confronto[modifica | modifica wikitesto]

Siano e due funzioni continue definite in un intervallo e tali che in . Allora:

Valore assoluto[modifica | modifica wikitesto]

Sia integrabile in un intervallo , allora si ha:

Teorema della media integrale[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema della media integrale e Teorema della media pesata.

Se è continua allora esiste tale che:

Limitandosi ad integrali su intervalli di , sia dato un intervallo , con . Una partizione di è un insieme finito di punti tali che:

Scrivendo , se è una funzione reale limitata definita su e una partizione di si pone:

dove sono calcolati al variare di tutte le partizioni di , e i due integrali si dicono rispettivamente integrale di Riemann superiore e inferiore. Se i due integrali sono uguali, si dice Riemann-integrabile (), e si definisce l'integrale di Riemann di su il valore comune dei due integrali:

Dato che ogni funzione limitata esistono tali che per ogni si ha:

gli integrali di Riemann superiori ed inferiore sono definiti, anche se non è detto che abbiano lo stesso valore.

Si mostra che se e solo se per ogni esiste una partizione tale che . Se tale condizione è verificata per la partizione:

e

allora:

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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