Teorema di Heine-Cantor

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In matematica, il teorema di Heine - Cantor è un teorema di analisi matematica riguardante l'uniforme continuità di funzioni definite fra spazi metrici. Prende il nome da Eduard Heine e Georg Cantor.

In generale ogni funzione uniformemente continua è anche continua. Il teorema di Heine-Cantor permette di invertire tale implicazione, nell'ipotesi che il dominio sia uno spazio metrico compatto.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Siano e spazi metrici, e una funzione continua su . Se è compatto allora è uniformemente continua.[1]

In particolare, tutte le funzioni reali di variabile reale continue definite su un intervallo chiuso e limitato sono uniformemente continue.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Assumiamo, per assurdo, che non valga la tesi; la negazione di

equivale a

.

Supponiamo dunque che esista tale che per ogni esistano punti tali che

e

Diamo a i valori e denotiamo con e i corrispondenti punti .

In questo modo si definiscono due successioni di punti e .

Poiché è compatto da si può estrarre una sotto-successione convergente ad un punto ; sia essa .

Poiché per , si ha

per . quindi anche converge a

Poiché per ogni si ha

e il secondo membro tende a zero per la continuità della funzione, segue

incompatibile con l'ipotesi d'assurdo

Condizione sufficiente[modifica | modifica wikitesto]

La compattezza è una condizione sufficiente ma non necessaria per avere continuità uniforme. Esistono infatti funzioni uniformemente continue definite in spazi metrici non compatti. Banalmente la funzione è uniformemente continua in ogni spazio metrico, come pure le funzioni costanti.[1]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b P. M. Soardi, p. 187

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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