Integrale di superficie

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La definizione di integrale di superficie consiste nel suddividere una superficie in parti infinitesime tanto da poterle considerare piane.

In matematica, un integrale di superficie è un integrale definito calcolato su una superficie, ad esempio un insieme di curve, che può essere pensato come un integrale doppio analogo ad un integrale di linea.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Si definisce elemento di volume in la k-forma:

Sia una k-superficie positivamente orientata in e una funzione continua definita sull'immagine di e a valori in . Allora:

Sia il dominio di parametrizzazione di e iniettiva e differenziabile con matrice jacobiana positiva. Allora:[1]

Se l'integrale fornisce il volume della superficie.

Integrale di funzioni su 2-superfici in [modifica | modifica wikitesto]

Sia una 2-superficie in con dominio di parametrizzazione . Un tale oggetto è analiticamente rappresentato da tre funzioni , e di due variabili indipendenti e :

Sia:

una funzione definita su .

Ad ogni punto del dominio di parametrizzazione è possibile associare il vettore:[2]

dove i vettori appartengono alla base canonica di .

Si definisce integrale di superficie di sulla superficie la scrittura:[3]

In modo equivalente si scrive anche, notando che il prodotto interno è proprio il vettore normale:

dove:

è l'elemento di superficie normale a .

E .

Se l'integrale fornisce l'area della superficie:

Integrale di 2-forme su 2-superfici in [modifica | modifica wikitesto]

Sia una 2-superficie in con dominio di parametrizzazione . Un tale oggetto è analiticamente rappresentato da tre funzioni , e di due variabili indipendenti e :

Sia:

una 2-forma definita su .

Si definisce integrale di su

Interpretando la 2-forma come un campo vettoriale definito su si ha:

dove è il versore normale alla superficie .

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Sia una superficie (chiusa o aperta) analiticamente rappresentata da tre funzioni , e di due variabili indipendenti e :

e sia funzione continua dei punti di detta superficie. Decomposta in modo arbitrario in elementi , si fissi su ciascuno di questi un punto , e si formi il prodotto del valore di per ogni . La somma di tali prodotti è indicata con . Facendo aumentare indefinitamente il numero degli elementi della decomposizione e facendo diminuire ciascuna delle aree , se esiste il limite di tale somma e se è finito allora esso è l'integrale di superficie della funzione sulla superficie . Viene indicato con oppure con .

La sua effettiva valutazione si ottiene mediante un integrale doppio esteso all'area piana proiezione della superficie sul piano x-y.

Con lo spianamento della superficie l'integrale in si trasforma nel seguente integrale doppio:

ove e , che consente la valutazione dell'integrale di superficie.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ W. Rudin, Pag. 286
  2. ^ W. Rudin, Pag. 288
  3. ^ W. Rudin, Pag. 289

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.
  • (EN) Leathem, J. G. Volume and Surface Integrals Used in Physics. Cambridge, England: University Press, 1905.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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