Teorema di Lagrange
In analisi matematica il teorema di Lagrange (o del valor medio o dell'incremento finito) è un risultato che si applica a funzioni di variabile reale e afferma, dal punto di vista geometrico, che dato il grafico di una funzione tra due estremi, esiste almeno un punto in cui la tangente al grafico è parallela alla secante passante per gli estremi.
Questo teorema è usato per provare delle proprietà di una funzione in un intervallo partendo da ipotesi locali sulle derivate nei punti di tale intervallo. È uno dei più importanti risultati dell'analisi matematica.
Storia[modifica | modifica wikitesto]
Un caso speciale di questo teorema fu inizialmente descritto da Parameshvara (1370–1460), dalla Scuola del Kerala in India, nei suoi commenti su Govindasvāmi e Bhāskara II.[1] Una forma ristretta del teorema fu poi provata da Rolle nel 1691; il suo risultato fu quello che ora è conosciuto come teorema di Rolle, e fu provato solo per polinomi, senza nessuna tecnica di analisi. Il teorema del valor medio nella sua forma moderna fu formulato e dimostrato da Cauchy nel 1823.[2]
Enunciato[modifica | modifica wikitesto]
Sia una funzione continua nell'intervallo chiuso e derivabile nell'intervallo aperto . Allora esiste almeno un punto [3]
Significato geometrico[modifica | modifica wikitesto]
Supponiamo di avere una funzione di variabile reale a valori reali definita nell'intervallo , come nell'immagine. Supponiamo che essa sia continua e che in ogni punto del suo grafico - esclusi e - sia ben definita la retta tangente, quest'ultima non parallela all'asse delle ordinate (supponiamo cioè che la funzione sia derivabile in ). Tracciamo la retta secante il grafico, passante per i punti e .
Il teorema di Lagrange afferma che sotto le ipotesi di regolarità sopra enunciate esiste almeno un punto , come nell'esempio, tale che la tangente al grafico di nel punto abbia la stessa pendenza della retta passante per i punti e .
Osservazioni[modifica | modifica wikitesto]
- Il teorema di Lagrange può anche essere considerato un caso particolare del teorema di Cauchy.
Sia la funzione identità (). Applichiamo il teorema di Cauchy a e :
Poiché , si ha che
- Il teorema di Lagrange è inoltre una generalizzazione del teorema di Rolle.
Sia una funzione continua nell'intervallo , derivabile in e tale che . Applicando il teorema di Lagrange si ha che
- Da notare che il teorema, come enunciato, è falso se una funzione derivabile è a valori complessi invece che reali. Per esempio, si definisce per tutti gli reali. In tal caso
mentre per ogni .
Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]
È possibile dimostrare l'asserto mediante un'applicazione del teorema di Rolle.
Sia la seguente funzione ausiliare:
Si tratta della retta passante per i punti e della figura.
Sia ora la differenza tra le due funzioni e :
.
Si verifica immediatamente che
La funzione è continua perché somma di funzioni continue (una per ipotesi e una perché è un polinomio di primo grado); inoltre è derivabile perché somma di funzioni derivabili (la prima per ipotesi, la seconda in quanto polinomio di primo grado).
Per il teorema di Rolle, se una funzione è continua in un intervallo , derivabile in e assume valori uguali agli estremi dell'intervallo, esiste almeno un punto in cui la sua derivata sia .
Applichiamo quindi il teorema di Rolle alla funzione , dal momento che ne soddisfa tutte le ipotesi:
.
Segue che
Ora si osserva che
Quindi
e il teorema è così dimostrato.
Estensioni[modifica | modifica wikitesto]
Funzioni definite in Rn[modifica | modifica wikitesto]
Il teorema rimane valido considerando funzioni definite in .
Sia una funzione reale differenziabile su un aperto , siano due punti di tali che il segmento
allora esiste tale che
dove con indichiamo il gradiente di f.
Per la dimostrazione è sufficiente considerare la funzione
con
derivabile sull'intervallo unitario perché composizione di due funzioni derivabili.
Funzioni a valori in Rm[modifica | modifica wikitesto]
Il teorema non è più valido in questa forma per le funzioni a valori in . Infatti sebbene applicabile a ogni singola componente, non è possibile garantire che ciascuna delle uguaglianze del teorema si verifichi contemporaneamente per lo stesso valore della variabile indipendente. In questo caso il teorema è valido se si accetta la seguente formulazione:
Sia una funzione reale derivabile su un aperto , contenente il segmento , allora:
Esempi di impiego (corollari)[modifica | modifica wikitesto]
Funzioni aventi derivata identicamente nulla su un intervallo[modifica | modifica wikitesto]
Sia una funzione continua e derivabile definita in un intervallo , sia la derivata di . Se per ogni interno ad , allora è costante in tale intervallo, cioè:
Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]
Prendiamo due punti distinti, e appartenenti all'intervallo .
Possiamo applicare il teorema di Lagrange all'intervallo ottenendo che
Dato che per ipotesi per ogni , ne segue che
Visto che e sono due punti arbitrari dell'intervallo, questo vale per ogni coppia di punti e quindi per ogni (cioè è costante nell'intervallo).
Funzioni aventi derivata uguale in un intervallo[modifica | modifica wikitesto]
Siano e due funzioni derivabili in un intervallo e sia per ogni . Allora le due funzioni differiscono per una costante , cioè
Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]
Si prenda . Per ipotesi si ha per ogni . Allora per il corollario precedente sulle funzioni a derivata nulla, la funzione è costante nell'intervallo , cioè per un determinato , e quindi
Monotonia a partire dalla derivata[modifica | modifica wikitesto]
Il teorema di Lagrange ci permette di stabilire la monotonia di una funzione derivabile in un certo intervallo, in base al segno della derivata.
Derivata non negativa[modifica | modifica wikitesto]
Sia una funzione derivabile in . Se , allora per ogni , con , si ha che .
Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]
Prendiamo due generici punti e appartenenti all'intervallo , con .
Poiché la funzione per ipotesi è derivabile in tutti i punti dell'intervallo, e quindi è anche continua, possiamo pensare di applicare il teorema di Lagrange a ottenendo che
Dato che si ha che
Ora, dato che , per essere vera la formula appena scritta deve essere e visto che questo vale per ogni coppia di punti appartenenti ad , possiamo concludere che la funzione è monotona crescente nell'intervallo.
Derivata positiva[modifica | modifica wikitesto]
Sia per ogni appartenente all'intervallo . Allora per ogni appartenenti all'intervallo con si ha che .
Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]
Prendiamo due generici punti e appartenenti all'intervallo chiuso con .
Poiché la funzione per ipotesi è derivabile in tutti i punti dell'intervallo, e quindi è anche continua, possiamo pensare di applicare il teorema di Lagrange a un intervallo avente come estremi e ottenendo che
Dato che per ogni si ha che
Ora dato che per essere vera la formula appena scritta deve essere e visto che questo vale per ogni e appartenenti ad possiamo concludere che la funzione è monotona crescente.
Derivata non positiva e derivata negativa[modifica | modifica wikitesto]
Le relative proprietà sono inverse rispetto a quelle ottenute ai due punti precedenti e si ottengono semplicemente invertendo i segni delle diseguaglianze.
Studio delle funzioni su un intervallo aventi derivata limitata[modifica | modifica wikitesto]
Se f è una funzione continua e derivabile nell'intervallo e la sua derivata prima è limitata in , ovvero esiste , si ha che è lipschitziana su .
Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]
Consideriamo due generici punti e appartenenti all'intervallo tali che .
Dal momento che l'ipotesi ci garantisce che la funzione sia derivabile in tutti i punti dell'intervallo, cosa che ci garantisce anche la continuità, possiamo applicare il teorema di Lagrange a un intervallo avente come estremi i due punti di prima, ottenendo che
Adesso uniamo questa informazione alla limitatezza della derivata, dataci per ipotesi, dunque possiamo scrivere:
Ma siccome i punti possiamo sceglierli a nostro completo arbitrio tra tutti quelli presenti nell'intervallo, allora la pendenza della funzione risulterà limitata, e quindi la funzione soddisferà la condizione di Lipschitz.
Note[modifica | modifica wikitesto]
- ^ J. J. O'Connor and E. F. Robertson (2000). Paramesvara Archiviato il 2 aprile 2015 in Internet Archive., MacTutor History of Mathematics archive.
- ^ A. Besenyei, Historical development of the mean value theorem, http://abesenyei.web.elte.hu/publications/meanvalue.pdf
- ^ P. M. Soardi, p. 223.
Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]
- Paolo Marcellini, Carlo Sbordone Analisi Matematica Uno, Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2819-2, 1998, paragrafo 61.
- Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2.
Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]
Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]
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Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]
- (EN) Teorema di Lagrange, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
Controllo di autorità | Thesaurus BNCF 37971 · LCCN (EN) sh85082689 · J9U (EN, HE) 987007558280505171 (topic) |
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