Teorema di Lagrange

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In analisi matematica il teorema di Lagrange (o del valor medio o dell'incremento finito) è un risultato che si applica a funzioni di variabile reale e afferma, dal punto di vista geometrico, che dato il grafico di una funzione tra due estremi, esiste almeno un punto in cui la tangente al grafico è parallela alla secante passante per gli estremi.

Questo teorema è usato per provare delle proprietà di una funzione in un intervallo partendo da ipotesi locali sulle derivate nei punti di tale intervallo. È uno dei più importanti risultati dell'analisi matematica.

Storia[modifica | modifica wikitesto]

Un caso speciale di questo teorema fu inizialmente descritto da Parameshvara (1370–1460), dalla Scuola del Kerala in India, nei suoi commenti su Govindasvāmi e Bhāskara II.[1] Una forma ristretta del teorema fu poi provata da Rolle nel 1691; il suo risultato fu quello che ora è conosciuto come Teorema di Rolle, e fu provato solo per polinomi, senza nessuna tecnica di analisi. Il teorema del valor medio nella sua forma moderna fu formulato e dimostrato da Cauchy nel 1823.[2]

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione continua nell'intervallo chiuso e derivabile nell'intervallo aperto . Allora esiste almeno un punto [3]

Significato geometrico[modifica | modifica wikitesto]

Immagine che spiega il significato geometrico del teorema di Lagrange

Supponiamo di avere una funzione di variabile reale a valori reali definita nell'intervallo , come nell'immagine. Supponiamo che essa sia continua e che in ogni punto del suo grafico - esclusi e - sia ben definita la retta tangente, quest'ultima non parallela all'asse delle ordinate (supponiamo cioè che la funzione sia derivabile in ). Tracciamo la retta secante il grafico, passante per i punti e .

Il teorema di Lagrange afferma che sotto le ipotesi di regolarità sopra enunciate esiste almeno un punto , come nell'esempio, tale che la tangente al grafico di nel punto abbia la stessa pendenza della retta passante per i punti e .

Osservazioni[modifica | modifica wikitesto]

  • Il teorema di Lagrange può anche essere considerato un caso particolare del teorema di Cauchy.

Sia la funzione identità (). Applichiamo il teorema di Cauchy a e :

Poiché , si ha che

Sia una funzione continua nell'intervallo , derivabile in e tale che . Applicando il teorema di Lagrange si ha che

  • Da notare che il teorema, come enunciato, è falso se una funzione derivabile è a valori complessi invece che reali. Per esempio, si definisce per tutti gli reali. In tal caso

mentre per nessun .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

È possibile dimostrare l'asserto mediante un'applicazione del teorema di Rolle.

Sia la seguente funzione lineare:

Si tratta della retta passante per i punti e della figura.

Sia ora la differenza tra le due funzioni e :

.

Si verifica immediatamente che

La funzione è continua perché somma di funzioni continue (una per ipotesi e una perché è un polinomio di primo grado); inoltre è derivabile perché somma di funzioni derivabili (la prima per ipotesi, la seconda in quanto polinomio di primo grado).

Per il teorema di Rolle, se una funzione è continua in un intervallo , derivabile in e assume valori uguali agli estremi dell'intervallo, esiste almeno un punto in cui la sua derivata sia .

Applichiamo quindi il teorema di Rolle alla funzione , dal momento che ne soddisfa tutte le ipotesi:

.

Segue che

Ora si osserva che

Quindi

e il teorema è così dimostrato.

Estensioni[modifica | modifica wikitesto]

Funzioni definite in Rn[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema rimane valido considerando funzioni definite in .

Sia una funzione reale differenziabile su un aperto , siano due punti di tali che il segmento

allora esiste tale che

dove con indichiamo il gradiente di f.

Per la dimostrazione è sufficiente considerare la funzione

con

derivabile sull'intervallo unitario perché composizione di due funzioni derivabili.

Funzioni a valori in Rm[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema non è più valido in questa forma per le funzioni a valori in . Infatti sebbene applicabile a ogni singola componente, non è possibile garantire che ciascuna delle uguaglianze del teorema si verifichi contemporaneamente per lo stesso valore della variabile indipendente. In questo caso il teorema è valido se si accetta la seguente formulazione:

Sia una funzione reale derivabile su un aperto , contenente il segmento , allora:

Esempi di impiego (corollari)[modifica | modifica wikitesto]

Funzioni aventi derivata identicamente nulla su un intervallo[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione continua e derivabile definita in un intervallo , sia la derivata di . Se per ogni interno ad , allora è costante in tale intervallo, cioè:

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Prendiamo due punti distinti, e appartenenti all'intervallo .

Possiamo applicare il teorema di Lagrange all'intervallo ottenendo che

Dato che per ipotesi per ogni , ne segue che

Visto che e sono due punti arbitrari dell'intervallo, questo vale per ogni coppia di punti e quindi per ogni (cioè è costante nell'intervallo).

Funzioni aventi derivata uguale in un intervallo[modifica | modifica wikitesto]

Siano e due funzioni derivabili in un intervallo e sia per ogni . Allora le due funzioni differiscono per una costante , cioè

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si prenda . Per ipotesi si ha per ogni . Allora per il corollario precedente sulle funzioni a derivata nulla, la funzione è costante nell'intervallo , cioè per un determinato , e quindi

Monotonia a partire dalla derivata[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema di Lagrange ci permette di stabilire la monotonia di una funzione derivabile in un certo intervallo, in base al segno della derivata.

Derivata non negativa[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione derivabile in . Se , allora per ogni , con , si ha che .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Prendiamo due generici punti e appartenenti all'intervallo , con .

Poiché la funzione per ipotesi è derivabile in tutti i punti dell'intervallo, e quindi è anche continua, possiamo pensare di applicare il teorema di Lagrange a ottenendo che

Dato che si ha che

Ora, dato che , per essere vera la formula appena scritta deve essere e visto che questo vale per ogni coppia di punti appartenenti ad , possiamo concludere che la funzione è monotona crescente nell'intervallo.

Derivata positiva[modifica | modifica wikitesto]

Sia f'(x) > 0 per ogni x appartenente all'intervallo [a,b]. Allora per ogni x1, x2 appartenenti all'intervallo [a,b] con x1 < x2 si ha che f(x1) < f(x2).

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Prendiamo due generici punti α e β appartenenti all'intervallo chiuso [a,b] con α < β.

Poiché la funzione per ipotesi è derivabile in tutti i punti dell'intervallo, e quindi è anche continua, possiamo pensare di applicare il teorema di Lagrange a un intervallo avente come estremi α e β ottenendo che

Dato che f'(x) > 0 per ogni x si ha che

Ora dato che α < β per essere vera la formula appena scritta deve essere f(α) < f(β) e visto che questo vale per ogni α e β appartenenti ad [a, b] possiamo concludere che la funzione è monotona crescente.

Derivata non positiva e derivata negativa[modifica | modifica wikitesto]

Le relative proprietà sono inverse rispetto a quelle ottenute ai due punti precedenti e si ottengono semplicemente invertendo i segni delle diseguaglianze.

Studio delle funzioni su un intervallo aventi derivata limitata[modifica | modifica wikitesto]

Se f è una funzione continua e derivabile nell'intervallo [a,b] e la sua derivata prima f' è limitata in [a,b], ovvero esiste k > 0 tale che |f'(x)| ≤ k, si ha che f è lipschitziana su [a,b]

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo due generici punti α e β appartenenti all'intervallo [a,b] tali che α < β.

Dal momento che l'ipotesi ci garantisce che la funzione sia derivabile in tutti i punti dell'intervallo, cosa che ci garantisce anche la continuità, possiamo applicare il teorema di Lagrange a un intervallo avente come estremi i due punti di prima, ottenendo che

Adesso uniamo questa informazione alla limitatezza della derivata, dataci per ipotesi, dunque possiamo scrivere:

Ma siccome i punti possiamo sceglierli a nostro completo arbitrio tra tutti quelli presenti nell'intervallo, allora la pendenza della funzione risulterà limitata, e quindi la funzione soddisferà la condizione di Lipschitz.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ J. J. O'Connor and E. F. Robertson (2000). Paramesvara, MacTutor History of Mathematics archive.
  2. ^ A. Besenyei, Historical development of the mean value theorem, http://abesenyei.web.elte.hu/publications/meanvalue.pdf
  3. ^ P. M. Soardi, p. 223

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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