Teorema di Lagrange

In analisi matematica il teorema di Lagrange (o del valor medio o dell'incremento finito) è un risultato che si applica a funzioni di variabile reale.

Enunciato

Sia $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$$f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ una funzione continua in $[a,b]$$[a, b]$ e derivabile in $(a,b)$$(a, b)$.

Allora esiste almeno un punto $c\in (a,b):f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.$$c\in (a,b) : f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

Significato geometrico

Immagine che spiega il significato geometrico del teorema di Lagrange

Supponiamo di avere una funzione $f$$f$ di variabile reale a valori reali definita nell'intervallo $[a,b]$$[a,b]$, come nell'immagine. Supponiamo che essa sia continua e che in ogni punto del suo grafico - esclusi $(a,f(a))$$(a,f(a))$ e $(b,f(b))$$(b,f(b))$ - sia ben definita la retta tangente, quest'ultima non parallela all'asse delle ordinate (supponiamo cioè che la funzione $f$$f$ sia derivabile in $]a,b[$$]a,b[$). Tracciamo la retta secante il grafico, passante per i punti $(a,f(a))$$(a,f(a))$ e $(b,f(b))$$(b,f(b))$.

Il teorema di Lagrange afferma che sotto le ipotesi di regolarità sopra enunciate esiste almeno un punto $c\in ]a,b[$$c\in ]a,b[$, come nell'esempio, tale che la tangente al grafico di $f$$f$ nel punto $(c,f(c))$$(c,f(c))$ abbia la stessa pendenza della retta passante per i punti $(a,f(a))$$(a,f(a))$ e $(b,f(b))$$(b,f(b))$.

Osservazioni

• Il teorema di Lagrange può anche essere considerato un caso particolare del teorema di Cauchy.

Sia g la funzione identità (g(x)=x per ogni x). Applichiamo il teorema di Cauchy ad f(x) e g(x):

$\exists c\in (a,b)\colon {\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$$\exists c \in (a, b) \colon \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Poiché $\forall x\in (a,b)\quad g'(x)=1$$\forall x\in (a,b)\quad g'(x)=1$, si ha che $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

• Il teorema di Lagrange è inoltre una generalizzazione del teorema di Rolle.

Sia f una funzione continua nell'intervallo [a,b], derivabile in (a,b) e tale che f(a) = f(b). Applicando il teorema di Lagrange si ha che

$\exists c\in (a,b)\colon f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=0$$\exists c \in (a,b)\colon f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$

Dimostrazione

È possibile dimostrare l'asserto mediante un'applicazione del teorema di Rolle.

Sia $g$$g$ la seguente funzione lineare:

$g(x)=f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)$$g(x) = f(a) + \frac{f(b)-f (a)}{b-a}(x-a)$

Si tratta della retta passante per i punti $(a,f(a))$$(a,f(a))$ e $(b,f(b))$$(b,f(b))$ della figura.

Sia ora $h$$h$ la differenza tra le due funzioni $f$$f$ e $g$$g$:

$\,h(x)=(f-g)(x)=f(x)-g(x)$$\, h(x) = (f-g)(x) = f(x) - g(x)$.

Si verifica immediatamente che

$h(a)=f(a)-g(a)=0\qquad \qquad h(b)=f(b)-g(b)=0$$h(a) = f(a) - g(a) = 0 \qquad \qquad h(b) = f(b) - g(b) = 0$

Per il teorema di Rolle, se una funzione è continua in un intervallo $[a,b]$$[a,b]$, derivabile in $]a,b[$$]a,b[$ ed assume valori uguali agli estremi dell'intervallo, esiste almeno un punto $c\in ]a,b[$$c\in ]a,b[$ in cui la sua derivata sia $0$$0$.

La funzione $h$$h$ è continua perché somma di funzioni continue (una per ipotesi ed una perché è un polinomio di primo grado); inoltre è derivabile perché somma di funzioni derivabili (la prima per ipotesi, la seconda in quanto polinomio di primo grado).

Applichiamo quindi il teorema di Rolle alla funzione $h$$h$, dal momento che ne soddisfa tutte le ipotesi:

$\exists \ c\in ]a,b[\;\mid h'(c)=0$$\exists \ c\in ]a,b[\;\mid h'(c)=0$.

Segue che

$h'(c)=f'(c)-g'(c)=0$$h'(c)=f'(c)-g'(c)=0$

Ora osserviamo che

$g'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$$g'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

Quindi

$f'(c)=g'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$$f'(c) = g'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

ed il teorema è così dimostrato.

Estensioni

Funzioni definite in Rⁿ

Il teorema rimane valido considerando funzioni definite in $\mathbb {R} ^{n}$$\mathbb {R} ^{n}$.

Sia $\,f$$\, f$ una funzione reale differenziabile su un aperto $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$$U \subseteq\R^n$, siano $\,\mathbf {x} ,\mathbf {y}$$\, \mathbf x, \mathbf y$ due punti di $\,U$$\,U$ tali che il segmento $[\mathbf {x} ,\mathbf {y} ]=\{t\mathbf {x} +(1-t)\mathbf {y} :t\in [0,1]\}\subseteq U$$[\mathbf x, \mathbf y]=\{t \mathbf x + (1-t) \mathbf y : t \in [0,1]\} \subseteq U$

allora esiste $\,\mathbf {\xi } \in [\mathbf {x} ,\mathbf {y} ]$$\, \mathbf \xi \in [\mathbf x, \mathbf y]$ tale che

$f(\mathbf {y} )-f(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {D} f(\mathbf {\xi } ),(\mathbf {y} -\mathbf {x} )\mathbf {\rangle }$$f(\mathbf y)-f(\mathbf x) = \langle \mathbf Df(\mathbf \xi),(\mathbf y -\mathbf x) \mathbf \rangle$

dove con $Df$$Df$ indichiamo il gradiente di f.

Per la dimostrazione è sufficiente considerare la funzione

$\varphi (t)=f(\mathbf {x} +t(\mathbf {y} -\mathbf {x} ))$$\varphi(t)= f(\mathbf x + t(\mathbf y - \mathbf x))$ con $t\in [0,1]$$t \in [0, 1]$

derivabile sull'intervallo unitario perché composizione di due funzioni derivabili.

Funzioni a valori in R^m

Il teorema non è più valido in questa forma per le funzioni a valori in $\mathbb {R} ^{m}$$\R^m$. Infatti sebbene applicabile ad ogni singola componente, non è possibile garantire che ciascuna delle uguaglianze del teorema si verifichi contemporaneamente per lo stesso valore della variabile indipendente. In questo caso il teorema è valido se si accetta la seguente formulazione:

Sia $\,f$$\, f$ una funzione reale derivabile su un aperto $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$$U \subseteq \R^n \rightarrow \R^m$, contenente il segmento $[\mathbf {x} ,\mathbf {y} ]$$[\mathbf x, \mathbf y]$, allora:

$\|f(\mathbf {y} )-f(\mathbf {x} )\|\leq \sup _{\mathbf {\mathbf {\xi } } \in U}\left\|Df(\mathbf {\xi } )\right\|\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|$$\| f(\mathbf y)-f(\mathbf x) \| \leq \sup_{\mathbf{\mathbf \xi} \in U} \left \| Df(\mathbf \xi) \right \| \left \| \mathbf x - \mathbf y \right \|$

Esempi di impiego (corollari)

Funzioni aventi derivata identicamente nulla su un intervallo

Sia f una funzione continua e derivabile, sia f' la derivata di f e sia f'(x) = 0 per ogni x appartenente all'intervallo aperto (a,b), allora f è costante in tale intervallo, cioè:

$f(x)=k\quad \forall x\in \mathbb {R}$$f(x)=k\quad \forall x\in \mathbb{R}$

Dimostrazione

Prendiamo due punti distinti, α e β appartenenti all'intervallo chiuso [a,b]

Possiamo applicare il teorema di Lagrange all'intervallo avente come estremi α e β ottenendo che

$\exists c\in (\alpha ,\beta ):{\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}=f^{\prime }(c)$$\exists c\in(\alpha,\beta):\frac{f(\beta )-f(\alpha)}{\beta -\alpha}=f^{\prime}(c)$

Dato che avevamo ipotizzato f'(x) = 0 per ogni x, otteniamo che

${\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}=0\;{\text{e quindi}}\;\ f(\beta )=f(\alpha )$${\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}=0\;{\text{e quindi}}\;\ f(\beta )=f(\alpha )$

Visto che α e β sono due numeri arbitrari nell'intervallo [a,b] questo vale per ogni coppia di punti in [a,b] e quindi f(x) = k per ogni x (cioè f(x) è costante).

Monotonia a partire dalla derivata

Il teorema di Lagrange ci permette di stabilire la monotonia di una funzione derivabile in un certo intervallo, in base al segno della derivata.

Derivata non negativa

Sia f'(x) ≥ 0 per ogni x appartenente all'intervallo [a,b]. Allora per ogni x₁, x₂ appartenenti all'intervallo [a,b] con x₁ < x₂ si ha che f(x₁) ≤ f(x₂).

Dimostrazione

Prendiamo due generici punti α e β appartenenti all'intervallo chiuso [a,b] con α < β.

Poiché la funzione per ipotesi è derivabile in tutti i punti dell'intervallo, e quindi è anche continua, possiamo pensare di applicare il teorema di Lagrange ad un intervallo avente come estremi α e β ottenendo che

$\exists c\in (\alpha ,\beta ):{\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}=f^{\prime }(c)$$\exists c\in(\alpha,\beta):\frac{f(\beta )-f(\alpha)}{\beta -\alpha}=f^{\prime}(c)$

Dato che f'(x) ≥ 0 per ogni x si ha che

${\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}\geq 0$$\frac {f(\beta )-f(\alpha)}{\beta -\alpha} \ge 0$

Ora dato che α < β per essere vera la formula appena scritta deve essere f(α) ≤ f(β) e visto che questo vale per ogni α e β appartenenti ad [a, b] possiamo concludere che la funzione è monotona non decrescente.

Derivata positiva

Sia f'(x) > 0 per ogni x appartenente all'intervallo [a,b]. Allora per ogni x₁, x₂ appartenenti all'intervallo [a,b] con x₁ < x₂ si ha che f(x₁) < f(x₂).

Dimostrazione

Prendiamo due generici punti α e β appartenenti all'intervallo chiuso [a,b] con α < β.

Poiché la funzione per ipotesi è derivabile in tutti i punti dell'intervallo, e quindi è anche continua, possiamo pensare di applicare il teorema di Lagrange ad un intervallo avente come estremi α e β ottenendo che

$\exists c\in (\alpha ,\beta )\colon {\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}=f'(c)$$\exists c\in(\alpha,\beta)\colon\frac{f(\beta )-f(\alpha)}{\beta -\alpha}=f'(c)$

Dato che f'(x) > 0 per ogni x si ha che

${\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}>0$$\frac{f(\beta )-f(\alpha)}{\beta -\alpha} > 0$

Ora dato che α < β per essere vera la formula appena scritta deve essere f(α) < f(β) e visto che questo vale per ogni α e β appartenenti ad [a, b] possiamo concludere che la funzione è monotona crescente.

Derivata non positiva e derivata negativa

Le relative proprietà sono inverse rispetto a quelle ottenute ai due punti precedenti e si ottengono semplicemente invertendo i segni delle diseguaglianze.

Studio delle funzioni su un intervallo aventi derivata limitata

Se f è una funzione continua e derivabile nell'intervallo [a,b] e la sua derivata prima f' è limitata in [a,b], ovvero esiste k > 0 tale che |f'(x)| ≤ k, si ha che f è lipschitziana su [a,b]

Dimostrazione

Consideriamo due generici punti α e β appartenenti all'intervallo [a,b] tali che α < β.

Dal momento che l'ipotesi ci garantisce che la funzione sia derivabile in tutti i punti dell'intervallo, cosa che ci garantisce anche la continuità, possiamo applicare il teorema di Lagrange ad un intervallo avente come estremi i due punti di prima, ottenendo che

$\exists c\in (\alpha ,\beta )\colon {\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}=f'(c)$$\exists c\in(\alpha,\beta)\colon\frac{f(\beta )-f(\alpha)}{\beta -\alpha}=f'(c)$

Adesso uniamo questa informazione alla limitatezza della derivata, dataci per ipotesi, dunque possiamo scrivere:

$\left|{\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}\right|\leq k$$\left | \frac {f(\beta )-f(\alpha)}{\beta -\alpha} \right | \le k$

Ma siccome i punti possiamo sceglierli a nostro completo arbitrio tra tutti quelli presenti nell'intervallo, allora la pendenza della funzione risulterà limitata, e quindi la funzione soddisferà la condizione di Lipschitz.

Bibliografia

• Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2.

Voci correlate

• Derivata
• Teorema di Rolle
• Teorema di Cauchy (analisi matematica)