Continuità uniforme

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In analisi matematica, una funzione uniformemente continua è un caso speciale di funzione continua. Intuitivamente una funzione f è uniformemente continua se una piccola variazione del punto x comporta una piccola variazione dell'immagine f(x) (quindi f è continua), e la misura della variazione di f(x) dipende solo dalla misura della variazione di x, ma non dal punto x stesso.

La continuità uniforme è quindi una proprietà globale della funzione, contrariamente alla continuità semplice che è una proprietà locale. Infatti quando si dice che una funzione è continua, si intende semplicemente che è continua in ogni punto del suo dominio. Non ha invece alcun senso affermare che una funzione è uniformemente continua in un punto.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Nel caso specifico di una funzione f:I \to \mathbb{R}, dove I \subseteq \mathbb{R} è un intervallo, si dice che f è uniformemente continua se per ogni numero reale \varepsilon > 0 esiste un numero reale \delta > 0, tale che per ogni x_1, x_2 \in I con |x_1 - x_2| < \delta (cioè "sufficientemente vicini l'uno all'altro") si ha:[1]

|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon

Diversamente dalla continuità semplice la distanza \delta dipende quindi unicamente dalla distanza \varepsilon e non dal punto x_1 o x_2.

La definizione di cui sopra si può immediatamente generalizzare ad arbitrari spazi metrici: dati due spazi metrici (X, d_X) e (Y, d_Y), si dice che una funzione f:X \to Y è uniformemente continua se per ogni \varepsilon > 0 esiste un \delta > 0 tale che, comunque scelti due punti x_1, x_2 \in X che soddisfano d_X(x_1,x_2) < \delta, allora si ha:[2]

d_Y(f(x_1), f(x_2)) < \varepsilon

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Grafico della funzione \sin\left(\frac{1}{x}\right), che non è uniformememte continua in (0,1].

Esempi di funzioni uniformemente continue sono la funzione costante, l'identità o una qualsiasi funzione lineare; altri esempi sono le funzioni derivabili in un convesso la cui derivata è limitata (ad esempio le funzioni seno e coseno).

Al contrario, i polinomi di grado maggiore di 1 non sono funzioni uniformemente continue sull'intera retta reale, sebbene lo siano sugli insiemi limitati: data ad esempio la funzione f(x)=x^2, infatti, per ogni \delta>0 la differenza:

f(x+\delta)-f(x)=(x+\delta)^2-x^2=2\delta x+\delta^2

tende ad infinito per x\to\infty.

Un analogo ragionamento può essere usato per dimostrare che la funzione f(x)= 1 / x non è uniformemente continua nell'intervallo (0,1], mostrando che funzioni continue su un limitato non sono necessariamente uniformemente continue. Neppure aggiungendo l'ipotesi che la funzione sia limitata si ottengono funzioni uniformemente continue: ad esempio la funzione f(x)=\sin ( 1 / x) (sempre nell'intervallo (0,1]) non è uniformemente continua, perché in ogni intervallo (0,\delta) si possono trovare x_1,x_2\in I tali che |f(x_1)-f(x_2)|=2.

Condizioni sufficienti per la continuità uniforme[modifica | modifica sorgente]

Il teorema di Heine-Cantor afferma che le funzioni continue su un compatto (in \mathbb{R}, un intervallo chiuso e limitato) sono uniformemente continue su tale compatto;[2] il teorema può essere esteso a comprendere anche insiemi non compatti, purché la funzione tenda (per x\to\pm\infty) ad un limite finito oppure ammetta un asintoto obliquo.

Inoltre, ogni funzione lipschitziana f è uniformemente continua: dato \varepsilon > 0, si può scegliere \delta := \varepsilon/K, dove K>0 è una costante di Lipschitz di f. La lipschizianità è una condizione sufficiente ma non necessaria per l'uniforme continuità (si veda il seguente esempio).

Esempio[modifica | modifica sorgente]

Si prenda f(x) = x^{\frac{1}{3}}. Essa non è lipschitziana in \mathbb{R}, ma lo è in qualunque intervallo del tipo \left(-\infty,-a)\cup(a,\infty\right) (la sua derivata, infatti, si mantiene in questo caso limitata, il che è sufficiente per la lipschitzianità). Pertanto, f(x) è uniformemente continua in questi intervalli.

D'altra parte, attorno a 0 (ossia in un intervallo del tipo \left[-a,a\right], complementare degli intervalli suddetti), si può garantire l'uniforme continuità di f(x) (continua e definita in un compatto).

Combinando questi risultati, otteniamo che f(x) è uniformemente continua in \mathbb{R}, pur non essendo lipschitziana.

Altre proprietà[modifica | modifica sorgente]

Una funzione uniformemente continua in un insieme X lo è anche in ogni sottoinsieme E\subseteq X; non vale il viceversa (ad esempio, f(x) = x^2 è uniformemente continua in ogni intervallo limitato ma non negli intervalli illimitati).

L'immagine di un intervallo limitato secondo una funzione uniformemente continua è limitato.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ E. Giusti, op. cit., p. 155
  2. ^ a b P. M. Soardi, op. cit., p. 186-187

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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