Continuità uniforme

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In matematica, in particolare in analisi matematica, una funzione uniformemente continua è un caso speciale di funzione continua. Intuitivamente una funzione è uniformemente continua se una piccola variazione del punto comporta una piccola variazione dell'immagine (quindi è continua), e la misura della variazione di dipende solo dalla misura della variazione di , ma non dal punto stesso.

La continuità uniforme è quindi una proprietà globale della funzione, contrariamente alla continuità semplice che è una proprietà locale. Infatti quando si dice che una funzione è continua, si intende semplicemente che è continua in ogni punto del suo dominio. Non ha invece alcun senso affermare che una funzione è uniformemente continua in un punto.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso specifico di una funzione , dove è un intervallo, si dice che è uniformemente continua se per ogni numero reale esiste un numero reale , tale che per ogni con (cioè "sufficientemente vicini l'uno all'altro") si ha:[1]

Diversamente dalla continuità semplice la distanza dipende quindi unicamente dalla distanza e non dal punto o .

La definizione di cui sopra si può immediatamente generalizzare ad arbitrari spazi metrici: dati due spazi metrici e , si dice che una funzione è uniformemente continua se per ogni esiste un tale che, comunque scelti due punti che soddisfano , allora si ha:[2]

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Grafico della funzione , che non è uniformememte continua in .

Esempi di funzioni uniformemente continue sono la funzione costante, l'identità o una qualsiasi funzione lineare; altri esempi sono le funzioni derivabili in un convesso la cui derivata è limitata (ad esempio le funzioni seno e coseno).

Al contrario, i polinomi di grado maggiore di non sono funzioni uniformemente continue sull'intera retta reale, sebbene lo siano sugli insiemi limitati: data ad esempio la funzione , infatti, per ogni la differenza:

tende ad infinito per .

Un analogo ragionamento può essere usato per dimostrare che la funzione non è uniformemente continua nell'intervallo , mostrando che funzioni continue su un limitato non sono necessariamente uniformemente continue. Neppure aggiungendo l'ipotesi che la funzione sia limitata si ottengono funzioni uniformemente continue: ad esempio la funzione (sempre nell'intervallo ) non è uniformemente continua, perché in ogni intervallo si possono trovare tali che .

Condizioni sufficienti per la continuità uniforme[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema di Heine-Cantor afferma che le funzioni continue su un compatto (in un insieme chiuso e limitato) sono uniformemente continue su tale compatto;[2] il teorema può essere esteso a comprendere anche insiemi non compatti, purché la funzione tenda (per ) ad un limite finito oppure ammetta un asintoto obliquo.

Inoltre, ogni funzione lipschitziana è uniformemente continua: dato , si può scegliere , dove è una costante di Lipschitz di . La lipschizianità è una condizione sufficiente ma non necessaria per l'uniforme continuità (si veda il seguente esempio).

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Si prenda . Essa non è lipschitziana in , ma lo è in qualunque insieme del tipo (la sua derivata, infatti, si mantiene in questo caso limitata, il che è sufficiente per la lipschitzianità). Pertanto, è uniformemente continua in questi intervalli.

D'altra parte, attorno a (ossia in un intervallo del tipo , complementare degli intervalli suddetti), si può garantire l'uniforme continuità di (continua e definita in un compatto).

Combinando questi risultati, otteniamo che è uniformemente continua in , pur non essendo lipschitziana.

Altre proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Una funzione uniformemente continua in un insieme lo è anche in ogni sottoinsieme ; non vale il viceversa (ad esempio, è uniformemente continua in ogni intervallo limitato ma non negli intervalli illimitati).

L'immagine di un intervallo limitato secondo una funzione uniformemente continua è limitato.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ E. Giusti, p. 155
  2. ^ a b P. M. Soardi, p. 186-187

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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