Prodotto di Wallis

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica per prodotto di Wallis si intende una espressione del valore di π trovata nel 1655 dal matematico John Wallis.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo innanzitutto che le radici di sin(x)/x sono ±nπ, dove n = 1, 2, 3, ... Possiamo quindi esprimere il seno tramite un prodotto infinito di fattori lineari dati dalle sue radici:

Per trovare la costante k, consideriamo il limite da entrambe le direzioni:

Sfruttando il fatto che:

ricaviamo k=1. Dunque otteniamo la seguente formula di Eulero-Wallis per il seno:

Poniamo x=π/2,

QED

Legame con l'approssimazione di Stirling[modifica | modifica wikitesto]

L'approssimazione di Stirling per n! stabilisce che

come n → ∞. Consideriamo ora l'approssimazione finita con il prodotto di Wallis, ottenuta prendendo i primi k termini del prodotto:

pk può essere scritto come

Sostituendo l'approssimazione di Stirling in questa espressione (sia per k! che per 2k!) possiamo dedurre (dopo un breve calcolo) che pk converge a π/2 perk → ∞.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica