Prodotto di Wallis

In matematica per prodotto di Wallis si intende una espressione del valore di π trovata nel 1655 dal matematico John Wallis.

$\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}$$\prod _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}$

Dimostrazione

Consideriamo innanzitutto che le radici di sin(x)/x sono ±nπ, dove n = 1, 2, 3, ... Possiamo quindi esprimere il seno tramite un prodotto infinito di fattori lineari dati dalle sue radici:

${\frac {\sin(x)}{x}}=k\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots \qquad {\textrm {con}}~k~{\textrm {costante}}$$\frac{\sin(x)}{x} = k \left(1 - \frac{x}{\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{3\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{3\pi}\right) \cdots \qquad \textrm{con}~k~\textrm{costante}$

Per trovare la costante k, consideriamo il limite da entrambe le direzioni:

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=\lim _{x\to 0}\left(k\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots \right)=k$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \left( k \left(1 - \frac{x}{\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{3\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{3\pi}\right) \cdots \right) = k$

Sfruttando il fatto che:

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$

ricaviamo k=1. Dunque otteniamo la seguente formula di Eulero-Wallis per il seno:

${\frac {\sin(x)}{x}}=\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots$$\frac{\sin(x)}{x} = \left(1 - \frac{x}{\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{3\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{3\pi}\right) \cdots$

${\frac {\sin(x)}{x}}=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdots$$\frac{\sin(x)}{x} = \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right) \cdots$

Poniamo x=π/2,

${\frac {1}{\pi /2}}=\left(1-{\frac {1}{2^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{4^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{6^{2}}}\right)\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }(1-{\frac {1}{4n^{2}}})$$\frac{1}{\pi / 2} = \left(1 - \frac{1}{2^2}\right)\left(1 - \frac{1}{4^2}\right)\left(1 - \frac{1}{6^2}\right) \cdots = \prod_{n=1}^{\infty} (1 - \frac{1}{4n^2})$

${\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}})$$\frac{\pi}{2} = \prod_{n=1}^{\infty} (\frac{4n^2}{4n^2 - 1})$

$=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots$$= \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots$

QED

Legame con l'approssimazione di Stirling

L'approssimazione di Stirling per n! stabilisce che

$n!={\sqrt {2\pi n}}{\left({\frac {n}{e}}\right)}^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right)$$n! = \sqrt {2\pi n} {\left(\frac{n}{e}\right)}^n \left( 1 + O\left(\frac{1}{n}\right) \right)$

come n → ∞. Consideriamo ora l'approssimazione finita con il prodotto di Wallis, ottenuta prendendo i primi k termini del prodotto:

$p_{k}=\prod _{n=1}^{k}{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}\ .$$p_k = \prod_{n=1}^{k} \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} \ .$

p_k può essere scritto come

$p_{k}={1 \over {2k+1}}\prod _{n=1}^{k}{\frac {(2n)^{4}}{(2n(2n-1))^{2}}}={1 \over {2k+1}}\cdot {{4^{2k}\,k!^{4}} \over {(2k\,!)^{2}}}\ .$$p_k ={1\over{2k+1}}\prod_{n=1}^{k} \frac{(2n)^4 }{(2n (2n-1))^2}={1\over{2k+1}}\cdot {{4^{2k}\,k!^4}\over {(2k\,!)^2}} \ .$

Sostituendo l'approssimazione di Stirling in questa espressione (sia per k! che per 2k!) possiamo dedurre (dopo un breve calcolo) che p_k converge a π/2 perk → ∞.

Collegamenti esterni

• Pagina sull'analisi complessa in PlanetMath che include una dimostrazione del prodotto infinito