Integrale di volume

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, in particolare nel calcolo in più variabili, un integrale di volume è l'integrale di superficie della funzione costante , e fornisce il volume della superficie considerata.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Si definisce elemento di volume in la k-forma:

Sia una k-superficie positivamente orientata in e la funzione costante definita sull'immagine di . Allora:

Sia il dominio di parametrizzazione di e iniettiva e differenziabile con matrice jacobiana positiva. Allora il volume della superficie è dato da:[1]

Volume in tre dimensioni[modifica | modifica wikitesto]

L'integrale di volume è un integrale triplo della funzione costante 1, che restituisce il volume della regione , cioè:

Con "integrale di volume" si identifica anche l'integrale triplo calcolato nella regione di una funzione ed è generalmente scritto:

Un integrale di volume in coordinate cilindriche è:

mentre un integrale di volume in coordinate sferiche ha la forma:

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Integrando la funzione su un cubo di spigolo unitario si ottiene il seguente risultato:

Quindi il volume del cubo unitario è 1 come previsto. In realtà, l'integrale di volume permette di risolvere problemi molto più complessi. Per esempio se abbiamo una funzione scalare che descrive la densità del cubo in un punto assegnato da si può calcolare la massa totale del cubo calcolando l'integrale di volume:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ W. Rudin, Pag. 286

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica