Teorema del confronto

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Il teorema del confronto è un teorema di analisi matematica. Assume forme diverse a seconda del contesto, e permette di calcolare il limite di una successione o funzione confrontando questa con altri due oggetti analoghi che "si stringono sempre di più" intorno a quello dato.

È informalmente chiamato teorema dei due carabinieri, per un'allegoria: il teorema sarebbe rappresentato da due carabinieri (due funzioni o successioni che si stringono sempre di più) che conducono in arresto un prigioniero (una funzione o successione ): questo "tende" sicuramente allo stesso punto dove tendono i carabinieri (il limite comune di e ). Sulla base di considerazioni simili, il teorema è talvolta detto anche teorema del sandwich.

Successioni[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema del confronto per le successioni asserisce che se e sono tre successioni di numeri reali tali che definitivamente:

e se si ha:

allora anche:

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Dalla definizione di limite di una successione, si ricava che per ogni esistono tali che:

Quindi per ogni maggiore di si ottiene:

Quindi per ogni esiste un tale che:

In altre parole, la successione tende a .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

La successione:

è "stretta" fra le successioni:

poiché:

implica:

per ogni . Entrambe e sono infinitesime (convergono cioè a zero), e quindi per il teorema del confronto anche è infinitesima.

Corollario[modifica | modifica wikitesto]

Teoremi di confronto si possono applicare anche per i limiti infiniti. Se sono due successioni tali che:

per ogni , e se:

allora anche:

Oppure se:

per ogni , e se:

allora anche:

Dimostrazione Corollario[modifica | modifica wikitesto]

Per ipotesi e pertanto, dalla definizione di limite di una successione, per ogni esiste un numero naturale tale che per ogni .

Dato che per ogni :

si ottiene che:

Quindi:

.

Funzioni[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema del confronto per le funzioni asserisce che, date tre funzioni definite su un dominio di , e dato un punto di accumulazione per , se:

ed esiste un intorno di tale che:

allora:

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Per la definizione di limite, per ogni esistono due intorni e di tali che:

Quindi:

Quindi per ogni esiste un intorno tale che:

In altre parole:

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Dimostrazione geometrica del limite con il teorema del confronto

Un'applicazione importante di questo teorema è la verifica del limite:

Si prenda come riferimento l'immagine a destra. Sia la misura dell'arco (in radianti) di circonferenza di centro O e raggio unitario.

Allora:

Ne segue che:

da cui, dividendo per :

prendendo i reciproci:

sapendo che la disuguaglianza non cambia per e che:

sfruttando il teorema del confronto si ottiene:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • G. C. Barozzi, Primo corso di analisi matematica, Bologna, Zanichelli, 1998. ISBN 88-080-1169-0.
  • (EN) Stewart, James (2008). Multivariable Calculus (6th ed.). pp. 909–910. ISBN 0495011630.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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