Teorema dei valori intermedi

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In [a,b], la funzione assume qualsiasi valore scelto tra f(a) e f(b)

In analisi matematica il teorema dei valori intermedi (o teorema di tutti i valori) si applica alle funzioni continue reali e assicura che l'immagine di un intervallo contenga tutti i valori compresi tra le immagini degli estremi dell'intervallo.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione continua. Sia (o viceversa ). Allora la funzione assume tutti i valori compresi tra e , ovvero, per ogni tale che (o rispettivamente ), esiste un punto in tale che .[1] Equivalentemente: sia una funzione continua, se , allora è suriettiva su (o . Questo teorema è fondamentale per la dimostrazione di quello della media integrale.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Senza perdita di generalità (WLOG) supponiamo che e consideriamo un valore tale che .

Introduciamo la funzione , continua in . Risulta che e .

Allora possiamo applicare il teorema degli zeri alla funzione , per il quale esiste tale che , ossia tale che .

Del tutto analogo è il caso in cui .

Corollario[modifica | modifica wikitesto]

Sia continua sull'intervallo . Allora l'insieme immagine è un intervallo (le funzioni continue trasformano intervalli in intervalli).

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Poniamo e ( e/o possono essere eventualmente infiniti). Sia c un numero reale tale che . Per definizione di estremo inferiore, esiste un tale che .

In modo analogo si prova l'esistenza di un tale che . Per il teorema dei valori intermedi, applicato all'intervallo di estremi e , esiste allora un punto in tale intervallo (e dunque in ) tale che . Ne concludiamo che . Ma oltre ad , può contenere solo gli estremi e , se questi sono finiti. In ogni caso è un intervallo.

Necessità delle ipotesi[modifica | modifica wikitesto]

Come si vedrà nei controesempi, queste sono le ipotesi più larghe possibili per cui vale l'enunciato stesso. Il teorema non vale se cade anche solo una delle ipotesi.

  • non continua: si consideri tale che per e altrimenti, che non è continua in . Il teorema non è valido, infatti non assume nessun valore intermedio tra e .
  • l'insieme di definizione non è un intervallo: si consideri tale che se e altrimenti. La funzione è continua nel suo dominio ma non è definita in un intervallo. Il teorema non è valido, infatti non assume nessun valore fra e . Tuttavia nei singoli intervalli il teorema è applicabile.


Osservazioni[modifica | modifica wikitesto]

  • Il teorema non può essere invertito. Esistono, infatti, funzioni che rispettano la proprietà dei valori intermedi ma non sono continue. Un esempio molto semplice è fornito dalla funzione definita come per reale diverso da zero e come nell'origine: tale funzione soddisfa la tesi del teorema ma è discontinua nell'origine. Un ulteriore esempio di funzione discontinua in ogni punto che rispetta però la tesi del teorema è invece la funzione base-13 di Conway.
  • Con le stesse ipotesi di continuità e di definizione in un intervallo, il teorema si può rafforzare: la funzione assume tutti i valori tra il massimo e il minimo nell'intervallo (che esistono per il teorema di Weierstrass). La dimostrazione è analoga, sostituendo i valori agli estremi dell'intervallo dell'intervallo con il massimo e il minimo della funzione.
  • Il teorema si può inoltre generalizzare per spazi topologici. Se è una funzione continua tra gli spazi topologici e di cui il primo è uno spazio connesso, allora è uno spazio connesso. Nel caso in cui allora l'immagine di sarà un intervallo.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ P. M. Soardi, p. 184

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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