Teorema di Bolzano-Weierstrass

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Il teorema di Bolzano-Weierstrass afferma che in uno spazio euclideo finito dimensionale \R^n ogni successione reale limitata ammette almeno una sottosuccessione convergente.

Un ulteriore enunciato del teorema di Bolzano-Weierstrass afferma che: -"Un insieme chiuso e limitato ammette almeno un punto di accumulazione."-

La dimostrazione di questo secondo enunciato si trova subito dopo la dimostrazione del primo.

Esso fu dimostrato nel 1817 dal matematico boemo Bernard Bolzano, ma divenne noto solo mezzo secolo più tardi quando Karl Weierstrass, ignaro del lavoro di Bolzano, fornì una nuova dimostrazione. Per tale motivo esso prende il nome di entrambi gli studiosi.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Sia E\subset\R^nun insieme limitato e infinito. Allora E possiede almeno un punto di accumulazione.

Una formulazione equivalente del teorema asserisce che ogni successione limitata in \R^n ammette almeno una sottosuccessione convergente.

Dimostrazione Per Induzione[modifica | modifica wikitesto]

Si definisca l'insieme E \subseteq K come [ a , b ] quindi tutti i valori compresi tra a e b, e si ponga un punto c definito come: c=(b+a)
/2
, quindi il punto medio.

Allora per ipotesi in almeno uno dei due sottoinsieme [ a , c ] o [ c , b ] si troveranno infiniti valori essendo infinito l'insieme di partenza. Si prenda in considerazione il sottoinsieme con \infty
valori (se entrambi presentano \infty
valori se ne scelga uno) e si nomino i nuovi estremi [ a1 , b1 ]. Adesso si definisca anche c1 come il punto medio del sottoinsieme e si ripeta il procedimento.

Questo procedimento si può reiterare all'infinito e così facendo si notano due sottosuccessioni

  • a{\scriptstyle\text{k}}
\nearrow
monotona crescente, che -per il teorema sulle sottosuccessioni monotone contenute in un insieme limitato- ammette limite e \lim a{\scriptstyle\text{k}} = \alpha ;
  • b{\scriptstyle\text{k}}
\searrow monotona decrescente, che -per il teorema sulle sottosuccessioni monotone contenute in un insieme limitato- ammette limite e \lim b{\scriptstyle\text{k}} =\beta
 ;

Si noti che i due limiti \alpha e \beta sono uguali poiché:

a{\scriptstyle\text{k}}- b{\scriptstyle\text{k}}= (b-a)/2^k

e facendone il limite per k\longrightarrow\infty si ottiene:

lim (a{\scriptstyle\text{k}}-b{\scriptstyle\text{k}}) =lim ((b-a)/2^k)

\alpha-\beta=0\Longrightarrow\alpha=\beta

Adesso, considerato che anche lim(b{\scriptstyle\text{k}})=\alpha

scriviamo la definizione di limite per ambe due le successioni:

  • \forall\epsilon>0,\exists M : k>M\Longrightarrow\alpha-\epsilon<a{\scriptstyle\text{k}}<\alpha
(essendo monotona crescente non potrà essere maggiore di \alpha)
  • \forall \epsilon > 0,\exist N : k>N \Longrightarrow \alpha<b{\scriptstyle\text{k}}<\alpha+\epsilon (essendo monotona decrescente non potrà essere minore di \alpha)

Ponendo infine un P>max(M,N) maggiore del massimo tra i due si otterrà:

\forall \epsilon>0, \exist P >max(M,N) 
tale che siano rispettate entrambe le condizioni e quindi:

\alpha-\epsilon<a{\scriptstyle\text{k}}<\alpha<b{\scriptstyle\text{k}}<\alpha+\epsilon

Che è esattamente la definizione di punto di accumulazione.

Quindi risulta \alpha punto di accumulazione.

Da notare che: se durante le infinite suddivisioni dell'intervallo si fossero trovati altri n sotto-intervalli con infiniti valori, allora si sarebbero trovati altri n punti di accumulazione.[1]

Dimostrazione per n = 1 (alternativa)[modifica | modifica wikitesto]

La dimostrazione nel caso n=1 fa uso dell'assioma di Dedekind (o assioma di completezza) e di un apposito lemma.

Lemma[modifica | modifica wikitesto]

Ogni successione  \{x_n\} a valori in \R ammette una sottosuccessione monotona.

Dimostrazione del lemma[modifica | modifica wikitesto]

Chiamiamo "picco per la successione" ogni numero naturale n tale che, per ogni m>n, risulti x_n \geq x_m, ovvero tale che il termine   x_n sia maggiore o uguale di ogni termine che lo "segue" nella successione.

Consideriamo il caso in cui la successione abbia infiniti picchi n_1<n_2<n_3<\ldots <n_j<\ldots. Ne consegue che otteniamo una sottosuccessione monotona decrescente  \{x_{n_j}\} costituitadagli infiniti picchi della successione di partenza e la tesi (del lemma) è raggiunta.

Risultato simile si ritrova nello studio del limite superiore di una successione. In tale contesto, infatti, si considera la sottosuccessione data da  \{\sup_{m\geq n}x_m: n\in\mathbb{N}\}.

Supponiamo adesso che ci sia solo un numero finito di picchi, chiamiamo con N l'ultimo picco e n1 = N + 1. Perciò n1 non è un picco, poiché n1 > N; da ciò segue che esiste un n2 > n1 tale che x_{n_2} \geq x_{n_1}. Allo stesso modo, n2 > N non è un picco, per cui esiste n3 > n2 con x_{n_3} \geq x_{n_2}.. Iterando il procedimento si ottiene la sottosuccessione monotona crescente x_{n_1}\leq x_{n_2} \leq x_{n_3} \leq \ldots.

Dimostrazione vera e propria[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo adesso di avere una successione limitata in \R; il lemma precedente implica l'esistenza di una sottosuccessione monotona necessariamente limitata. Dal teorema della convergenza monotona per successioni reali segue che questa sottosuccessione necessariamente converge. Infatti, essendo limitata, avrà l'estremo superiore (inferiore) per l'assioma di Dedekind, che sarà anche il limite della successione. Ciò è provato dal fatto che, chiamato L l'estremo superiore, \forall \varepsilon \exists \nu : L-\varepsilon<x_{\nu}. Essendo monotona, \forall n>\nu : x_{\nu}<x_n<L<L+\varepsilon cioè |x_n-L|<\varepsilon. Si conclude così la dimostrazione del teorema per il caso n=1.

Dimostrazione per n qualsiasi[modifica | modifica wikitesto]

Nella sua formulazione più generale, il teorema può essere dimostrato tramite il caso n=1: data una successione limitata in \R^n, la successione delle prime coordinate è una successione reale limitata e perciò essa ammette sottosuccessione convergente. Da questa possiamo estrarre una sottosottosuccessione per la quale la seconda coordinata converga. Iterando questo procedimento per tutte le n coordinate si ottiene una n volte sottosuccessione della successione di partenza — che è a tutti gli effetti una sottosuccessione della successione di partenza — per la quale ogni coordinata è una successione convergente. Si è così ottenuta una sottosuccessione convergente della successione in \R^n.

Altra formulazione del teorema[modifica | modifica wikitesto]

Come affermato si ha un secondo enunciato del teorema:

Sia E \subseteq K un insieme infinito, e sia K un insieme compatto. Allora E ammette almeno un punto di accumulazione in K, ossia E^{\prime} \cap K \neq \varnothing .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia per assurdo E^{\prime} \cap K = \varnothing. Allora per ogni q in K esiste una palla centrata in q che, intersecata con E, contiene al più il punto q stesso (altrimenti q sarebbe di accumulazione per E). Se denotiamo con V(q) la palla aperta centrata in q di opportuno raggio r(q), la famiglia \{V(q)\}_{q \in K} è una copertura aperta di K (dato che il ragionamento è valido per ogni q in K); poiché K è compatto (ex hyp.), da tale copertura aperta è possibile estrarre una sottocopertura aperta e finita di K, ossia una sottocopertura \exists \{V(q_i)\}_{i=1,\dots,N} tale che

\cup_{i=1,\dots,N}V(q_i) \supseteq K

In particolare, \cup_{i=1,\dots,N}V(q_i) contiene E. Tuttavia, ciò è assurdo poiché E contiene infiniti elementi, mentre ognuna di queste palle V(qi) contiene al più un elemento di E e quindi la loro unione ne contiene al più N.

Quindi E^{\prime} \cap K \neq \varnothing

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ G. H. Hardy, A Course of Pure Mathematics, london, 1908.
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