Funzione base-13 di Conway

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La funzione base-13 di Conway è una funzione costruita dal matematico britannico John H. Conway. La funzione soddisfa la tesi del teorema dei valori intermedi senza essere continua.

Obiettivo[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema dei valori intermedi asserisce che ogni funzione continua definita su un intervallo reale soddisfa la proprietà seguente: se sono due punti dell'intervallo tali che e è un numero reale tale che allora esiste un compreso fra e tale che .

La funzione base-13 di Conway è una funzione discontinua in ogni punto che soddisfa comunque la tesi del teorema. Gli unici esempi noti precedentemente avevano discontinuità solo in alcuni punti isolati: un esempio è la funzione

definita su tutta la retta reale imponendo in zero il valore . Anche questa funzione soddisfa la tesi del teorema, ed è discontinua nell'origine.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La funzione base-13 di Conway è una funzione definita come segue.

Si indichino con le cifre in base e si consideri la rappresentazione

di in tale base (rappresentazione che è unica se si esclude il caso di sequenze infinite di ). Allora a meno che esista un indice tale che:

  • per
  • esiste un unico tale che

In questo caso si definisce ponendo

in base 10, ove il segno è se e se .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La cosa importante da notare è che la funzione definita in tal modo soddisfa l'inverso del teorema dei valori intermedi, ma non è continua in nessun punto. Infatti, in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in , assume ogni valore reale e quindi in particolare ogni valore compreso tra e . Per vedere ciò, si noti che ogni si può scrivere in base come

per opportuni . Inoltre, è facile vedere che i numeri la cui espansione in base è

(ove se e altrimenti)

sono densi in ed in particolare ve n'è almeno uno di essi, , che è compreso in . Si può concludere quindi osservando che dalla definizione di si ha

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Agboola, Adebisi, Lecture. Math CS 120, Università della California, Santa Barbara, 17 dicembre 2005.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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