Teorema delle funzioni implicite

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In matematica, in particolare in analisi matematica e geometria, il teorema delle funzioni implicite è un importante strumento che stabilisce quando il luogo di zeri di un'equazione implicita si può esplicitare rispetto a una variabile.

Il caso più semplice del teorema è detto dalla scuola pisana teorema di Dini.

Il teorema di Dini[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema di Dini stabilisce che una funzione reale di classe di due variabili del tipo:

definisce implicitamente un'unica funzione del tipo:

in un intorno di un punto tale che:[1]

Il teorema di Dini fornisce quindi una condizione sufficiente affinché esista un'unica funzione tale che

sia soddisfatta al variare di , ovvero un'unica funzione tale che

sia soddisfatta al variare di .

Questo non significa che sia possibile esplicitare una delle due incognite in funzione dell'altra, ovvero che sia possibile trovare oppure in forma esplicita, ma mostra piuttosto che esiste almeno una delle due funzioni, detta funzione implicita.

Se ci si limita all'individuazione di particolari tipi di funzione, ad esempio quelle continue e definite su un intervallo, si può dimostrare anche la loro unicità, il che sancisce un'equivalenza formale tra la scrittura implicita e quella esplicita oppure . Ad esempio, l'equazione:

ben definisce un'unica funzione continua definita per ogni reale, che tuttavia non può essere scritta esplicitamente.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione a valori reali, differenziabile e le cui derivate parziali prime siano funzioni continue. Sia inoltre tale che:

Il teorema afferma che esiste una funzione derivabile reale:

la cui derivata prima sia continua. Inoltre, il grafico di è l'insieme delle coppie:

che sono contenute nel rettangolo:

Il teorema in due dimensioni[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri una funzione di classe C1 definita su un insieme aperto , e si consideri l'insieme:

.

Se è non vuoto esiste un punto tale che:

Il teorema afferma che se non è un punto critico, ovvero:

allora esiste un intorno di tale che l'insieme è il grafico di una funzione derivabile.

Questo equivale a dire che esiste un'unica funzione del tipo o del tipo che mette in relazione le due incognite e . Si noti che questo non significa che è davvero possibile esplicitare una delle due variabili in funzione dell'altra, ma solo che l'equazione definisce implicitamente un legame tra le due incognite che è univoco.

Sia una funzione di classe nell'aperto e sia tale che:

Allora esistono un intervallo reale aperto , con , un intervallo reale aperto , con , ed una funzione di classe in a valori in tali che:

e tali che per ogni la relazione:

si verifica se e solo se:

Scambiando i ruoli delle variabili si giunge a definire una funzione .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia data una funzione continua di classe in tale che in tutti i punti tali che , cioè nella curva di livello:

.

Sia un punto di e si consideri il relativo sviluppo al primo ordine di Taylor:

Tenendo conto che , uguagliando a zero la prima parte del termine al primo ordine si ottiene:

Per ipotesi, tale equazione di primo grado ha almeno un coefficiente diverso da zero, e si può porre . Si può quindi ricavare in funzione di :

Il teorema mostra che l'errore nella formula di approssimazione al primo ordine non incide sulla possibilità di esprimere una variabile in funzione dell'altra.

La funzione ottenuta ha sviluppo al primo ordine:

Il teorema in più dimensioni[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione di classe , dove è il prodotto cartesiano i cui elementi sono del tipo . Sia inoltre un punto tale che .

Data la matrice jacobiana di in :

si supponga che è invertibile.

Il teorema delle funzioni implicite afferma che vi sono due insiemi aperti e contenenti rispettivamente e tali che per ogni esiste un unico che soddisfa e . Inoltre, la funzione tale che è una funzione di classe tale che:[2]

dove è la jacobiana di in . La relazione:

definisce implicitamente .

Il teorema stabilisce quindi che il sistema :

può essere risolto esplicitando in funzione di in un intorno di se il sistema è risolvibile in e se è invertibile.[3] Le soluzioni così trovate sono inoltre funzioni di classe . Il teorema può essere generalizzato al caso di funzioni analitiche.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ W. Rudin, Pag. 225
  2. ^ W. Rudin, Pag. 226
  3. ^ W. Rudin, Pag. 227

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.
  • V.Barutello, M.Conti, D.L.Ferrario, S.Terracini, G.Verzini, Analisi matematica. Con elementi di geometria e calcolo vettoriale, Apogeo Editore, 2008, ISBN 8850324235.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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