Teorema delle contrazioni

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In matematica, il teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli, o teorema delle contrazioni, è un importante strumento nella teoria degli spazi metrici; garantisce l'esistenza e l'unicità di un punto fisso per determinate mappe di spazi metrici su sé stessi, e la sua dimostrazione fornisce un metodo costruttivo per trovarli. Il teorema prende il nome da Stefan Banach (1892-1945) e da Renato Caccioppoli (1904-1959), ed è stato formulato la prima volta da Banach nel 1922. Caccioppoli giungerà autonomamente a questo risultato nel 1931.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Contrazione (spazio metrico) e Funzione contrattiva.

Sia uno spazio metrico. Si definisce contrazione una funzione tale che esiste una costante reale che soddisfa la seguente condizione:

Il più piccolo valore di per cui vale tale condizione è detto costante di Lipschitz di .

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio metrico completo non vuoto. Sia una contrazione su . Allora la mappa ammette uno e un solo punto fisso:[1]

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

La dimostrazione si articola in due parti. Iniziamo ad occuparci della esistenza, poi ricaveremo l'unicità.

Sia definita una successione ricorrente (o successione delle iterate) come segue:

Sfruttiamo la metrica e la proprietà di contrazione per valutare la distanza tra due punti successivi :

Prendiamo due numeri tali che : attraverso la disuguaglianza triangolare e la proprietà di cui sopra

Per , l'ultima è una serie geometrica che converge perché il termine generale è compreso tra e , quindi

ottenendo il criterio di Cauchy per le successioni. Passiamo ora dalla completezza dello spazio , la quale garantisce l'esistenza di

Poiché la è un'applicazione uniformemente continua, vale

L'unicità si dimostra per assurdo: poniamo che esista un secondo punto tale che

che contraddice le ipotesi di partenza.

Il valore minimo di è talvolta chiamato costante di Lipschitz.

Si osservi che la condizione per e distinti (soddisfatta da funzioni contrattive) non è in generale sufficiente ad assicurare l'esistenza di un punto fisso, come è mostrato dalla mappa con , che non ha punti fissi. Tuttavia, se lo spazio è compatto, allora questa assunzione più debole implica tutte le conclusioni del teorema.

Quando si usa il teorema in pratica, la parte più difficile è in genere definire opportunamente in modo che porti elementi da a , cioè che sia sempre un elemento di .

Corollario[modifica | modifica wikitesto]

Sotto le ipotesi su del teorema precedente, se è una funzione tale che, per qualche numero naturale l'iterata è una contrazione, allora ammette un unico punto fisso.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo che sia punto fisso di . Allora da cui, applicando T da entrambi i lati, si ha e quindi : anche è punto fisso per . Ma, per il teorema precedente, ha un unico punto fisso e quindi deve essere .

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

L'applicazione standard è nella dimostrazione del teorema di Picard-Lindelöf riguardo all'esistenza e all'unicità di soluzioni di determinate equazioni differenziali ordinarie. La soluzione cercata è espressa come un punto fisso di un opportuno operatore integrale che trasforma funzioni continue in funzioni continue. Il teorema del punto fisso di Banach-Caccioppoli è quindi usato per mostrare che questo operatore integrale ha un unico punto fisso.

Un'altra applicazione è una dimostrazione del teorema della funzione implicita in spazi di Banach.

Inversi[modifica | modifica wikitesto]

Esistono molti teoremi inversi del teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli. Il seguente è dovuto a Czeslaw Bessaga, nel 1959:

Sia una mappa di un insieme tale che ogni iterata ha un unico punto fisso. Sia un numero reale, . Allora esiste una metrica completa su tale che sia una contrazione, e è la costante di contrazione.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ W. Rudin, Pag. 222

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.
  • (EN) Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, the Netherlands (1981). ISBN 90-277-1224-7 See chapter 7.
  • (EN) Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5.
  • (EN) William A. Kirk and Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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