Criterio di convergenza di Cauchy

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Il criterio di convergenza di Cauchy è un teorema di analisi matematica che fornisce le condizioni necessarie e sufficienti per l'esistenza del limite per una successione di numeri reali o complessi (o, più in generale, per una successione a valori in uno spazio metrico completo).

Oltre al risultato principale, vi sono numerosi criteri di convergenza applicabili in situazioni diverse (serie, funzioni, successioni e serie di funzioni, ecc.), che sono a loro volta chiamati criteri di Cauchy per la somiglianza concettuale.

Criterio di Cauchy per le successioni[modifica | modifica wikitesto]

Il criterio di convergenza di Cauchy asserisce che una successione di numeri reali ha limite finito se e solo se è di Cauchy. In altre parole, se e solo se per ogni esiste tale che per ogni .

Una successione convergente è sempre di Cauchy, in ogni contesto. La proprietà essenziale che garantisce l'implicazione opposta è la completezza dei numeri reali.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Innanzitutto proviamo che se converge allora è di Cauchy. Per ipotesi,

cioè per ogni esiste tale che

per ogni . Dalla disuguaglianza triangolare si ricava:

per ogni coppia e di numeri maggiori di . Poiché è "piccolo a piacere", ne segue che è una successione di Cauchy.

Mostriamo l'implicazione inversa. Sia di Cauchy. Una tale successione è necessariamente limitata. Quindi è contenuta in un intervallo chiuso per sufficientemente grande. Questo intervallo è un insieme chiuso e limitato di : un tale insieme di è compatto per il teorema di Heine-Borel (la completezza di è fondamentale per ottenere questo risultato).

Poiché la successione è contenuta in un compatto, esiste una sottosuccessione convergente ad un certo limite . Dalla definizione di limite, per ogni esiste tale che

per ogni . Poiché è una successione di Cauchy, esiste tale che

per ogni . Quindi

per ogni maggiore di

Criterio di Cauchy per i limiti di funzioni[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione reale definita in un insieme e sia un punto di accumulazione di (eventualmente infinito). Allora esiste ed è reale se e solo se per ogni esiste un intorno di tale che:

per ogni coppia di reali e diversi da .

Criterio di Cauchy per l'integrale improprio[modifica | modifica wikitesto]

Dal precedente criterio per i limiti di funzioni, discende il seguente criterio.

Sia una funzione integrabile secondo Riemann in ogni sottointervallo chiuso contenuto in . Allora è integrabile in senso improprio in se e solo se per ogni esiste un intorno di tale che

per ogni .

Criterio di Cauchy per le serie numeriche[modifica | modifica wikitesto]

Adattando il discorso alle serie, si può enunciare questo criterio, corollario immediato dell'enunciato precedente. Una serie a valori reali è convergente se e solo se per ogni esiste un tale che per ogni e per ogni in vale che .

Infatti il termine compreso dentro il valore assoluto non è altro che , dove è la successione delle somme parziali.

Successioni di funzioni[modifica | modifica wikitesto]

Criteri di convergenza analoghi valgono anche per le successioni di funzioni.

Criterio di Cauchy per la convergenza puntuale[modifica | modifica wikitesto]

Sia una successione di funzioni definite in un insieme . Essa converge puntualmente in se e solo se per ogni e per ogni esiste un indice tale che:

per ogni .

In questa definizione, l'indice dipende sia dalla scelta del punto , sia dalla scelta di .

Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme[modifica | modifica wikitesto]

Sia una successione di funzioni definite in un insieme . Essa converge uniformemente in se e solo se per ogni esiste un indice tale che:

per ogni e ogni .

Come ci si aspetta dalla nozione di convergenza uniforme, in questo caso l'indice dipende solamente dalla scelta di .

Serie di funzioni[modifica | modifica wikitesto]

Dall'applicazione dei due precedenti criteri sulle successioni di funzioni alla successione delle somme parziali di una serie di funzioni si ottengono immediatamente i due seguenti criteri di convergenza.

Criterio di Cauchy per la convergenza puntuale[modifica | modifica wikitesto]

Sia una serie di funzioni definite in un insieme . Essa converge puntualmente in se e solo se per ogni e per ogni esiste un indice tale che:

per ogni  (ε,x) e ogni naturale .

Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme[modifica | modifica wikitesto]

Sia una serie di funzioni definite in un insieme . Essa converge uniformemente in se e solo se per ogni esiste un indice tale che:

per ogni ( ε) e ogni naturale .

Prodotti infiniti[modifica | modifica wikitesto]

Esiste anche un analogo del criterio di Cauchy per la convergenza di un prodotto infinito.

Il prodotto infinito

converge se e solo se per ogni esiste tale che:

per ogni e ogni naturale .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Tom Apostol, Mathematical Analysis, 2ª ed., Addison Wesley, gennaio 1974, ISBN 0-201-00288-4.
  • Giovanni Emmanuele, Analisi Matematica II, Foxwell & Davies Italia s.r.l., 2004.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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