Prodotto infinito

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In matematica si dice prodotto infinito relativo ad una successione di numeri reali o complessi a1, a2, a3, ... l'entità che si denota con

e che si definisce come il limite dei prodotti parziali a1a2...an per n tendente all'infinito. Il prodotto si dice convergente quando esiste un intero m tale che la successione

abbia un limite diverso da 0 e da ±∞. In caso contrario si dice che il prodotto è divergente. In questo modo un prodotto infinito convergente è nullo se e solo se si ha an=0 per un qualche n. Con tale definizione molte delle proprietà delle somme di serie infinite si possono trasformare in analoghe proprietà per i prodotti infiniti.

Se il prodotto infinito converge, allora il limite della successione an per n tendente all'infinito deve essere 1, mentre il fatto che la successione tenda a 1 non implica necessariamente che il prodotto infinito converga. Di conseguenza, per una prodotto infinito convergente, esiste m tale che per nm si abbia an>0. Dunque, per tali valori di n è definito il logaritmo log an e si ha

con il prodotto a primo membro che converge se e solo se la somma al secondo membro converge. Questa situazione simmetrica consente di tradurre i criteri di convergenza per le somme infinite in criteri di convergenza per i prodotti infiniti.

Per prodotti nei quali per ogni n si ha , introducendo i numeri , per i quali deve essere , si trovano le disuguaglianze

e queste mostrano che il prodotto infinito converge se e solo se converge la successione dei pn.

Prodotti infiniti notevoli[modifica | modifica wikitesto]

Gli esempi più noti di prodotti infiniti sono probabilmente dati da alcune delle formule trovate per π, come le seguenti ottenute, rispettivamente, da François Viète (v. formula di Viète) e John Wallis (v. prodotto di Wallis):

Prodotti infiniti per il seno:

Prodotto infinito per il coseno:

Il prodotto di Pippenger

Rappresentazione di funzioni mediante prodotti[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di fattorizzazione di Weierstrass.

Un risultato importante sui prodotti infiniti consiste nel fatto che ogni funzione intera f (cioè ogni funzione olomorfa sull'intero piano complesso) si può fattorizzare come prodotto infinito di funzioni intere ciascuna delle quali presenta al più un singolo zero. In generale, se f presenta uno zero di ordine m nell'origine e possiede altri zeri complessi nei punti u1, u2, u3, ... (elencati con le molteplicità uguali ai loro ordini), allora

dove i λn sono interi non negativi che si possono scegliere per rendere il prodotto convergente, e φ(z) è qualche funzione analitica univocamente determinata (il che significa che il fattore che precede il prodotto non presenta zeri nel piano complesso). La precedente fattorizzazione non è unica, in quanto dipende dalla scelta dei λn e non è particolarmente elegante. Per gran parte delle funzioni, tuttavia, si trova qualche intero non negativo minimo p tale che λn = p fornisce un prodotto convergente; questo viene chiamato la rappresentazione canonica mediante prodotto. Questo p viene chiamato rango del prodotto canonico. Inoltre, se φ(z) è un polinomio, il grado di φ si dice ordine di f. Nel caso che sia p = 0, questo prende la forma

Questa può essere considerata come una generalizzazione del teorema fondamentale dell'algebra, in quanto per le funzioni polinomiali il prodotto diventa finito e la funzione φ(z) si riduce a una costante. Rappresentazioni di questo tipo sono:

funzione seno Eulero - la formula di Wallis per π è un caso particolare di questa.
funzione coseno
funzione Gamma Oscar Schlömilch.

Un altro esempio di prodotto infinito di funzioni è

funzione zeta di Riemann Prodotto di Eulero - Qui i pn costituiscono la successione dei numeri primi.

Si osservi che questa rappresentazione non è una rappresentazione nella forma di Weierstrass.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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