Discussione:Prodotto infinito

Da quanto mi risulta una produttoria infinta si dice convergente se esiste un indice m tale che la successione $\prod _{i=m}^{n}a_{i}$ converga a un valore≠0,±∞. In questo modo un prodotto può anche fare 0, ma solo se uno dei fattori è nullo. Questa definizione peraltro mi sembra decisamente più sensata rispetto a quella data qua perchè in questo modo si ha che $\prod _{i=1}^{\infty }a_{i}$ è convergente se e solo se lo è $\prod _{i=t}^{\infty }a_{i}$ per ogni t>1, analogamente a quanto succede con le serie. --Sandro 18:12, 22 gen 2008 (CET) Beh, visto che nessuno ha niente da dire...--Sandro 23:58, 25 gen 2008 (CET)

Qualcosa non mi torna. Con la definizione "convergente = i prodotti parziali convergono ad un valore ≠0,±∞", un prodotto convergente, per definizione, non può essere nullo. E quindi, la frase "un prodotto infinito convergente è nullo se e solo se si ha a_n=0 per un qualche n." è contraddittoria.

(Personalissima opinione: capisco l'esigenza di estetica per la questione di analogia con le serie, ma se questo viene a scapito della chiarezza di linguaggio, almeno farlo ben presente...) --87.1.236.127 (msg) 09:02, 23 feb 2022 (CET)

È più "le code dei prodotti parziali convergono a un valore finito non nullo". I libri di analisi complessa di solito danno quella definizione, ma molto probabilmente libri su altri argomenti danno una definizione diversa. Sicuramente si può aggiungere qualche spiegazione in più su questo.--Sandro_bt (scrivimi) 13:12, 23 feb 2022 (CET)

Inesattezza?

Nella voce è scritto: un prodotto infinito è nullo se e solo se si ha a_n=0 per un n. Però il prodotto

$\prod _{i}1-{\frac {1}{p_{i}}}$

dove i p sono tutti i primi, dovrebbe essere (se non mi inganno) l'inverso della funzione zeta per s=1:

${\frac {1}{1-{\frac {1}{p}}}}=1+{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p^{2}}}+\cdots$

e il loro prodotto fa infinito perché diventa la serie armonica. Quindi il prodotto dei loro inversi fa 0, mentre i termini del prodotto non sono mai 0, anzi tendono a 1. C'è un qualche errore nella mia logica o la voce è inesatta?--Dr Zimbu (msg) 12:12, 19 mar 2008 (CET)

Nessuna dei due! Il punto è che secondo la definzione data qua quella produttoria non è convergente. Si può dare la definizione anche accettando come produttorie convergenti quelle che convergono a zero pur non avendo termini nulli, dà qualche vantaggio ma anche vari svantaggi (in quel modo si perde qualche analogia con le serie e si fa un po' più fatica a parlare di produttorie che definiscono funzioni olomorfe).--Sandro (msg) 16:26, 19 mar 2008 (CET)

OK, grazie del chiarimento.--Dr Zimbu (msg) 18:56, 19 mar 2008 (CET)