Formula di Viète

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Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando le formule che mettono in relazione le radici e i coefficienti di un polinomio, vedi Formule di Viète.

In matematica, la formula di Viète, così denominata in onore del matematico francese François Viète (1540-1603), è la seguente rappresentazione mediante prodotto infinito della costante matematica π:

L'espressione sulla destra deve essere intesa come espressione limite (per )

dove an è il radicale quadratico dato dalla formula ricorsiva con condizione iniziale .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo la formula di duplicazione per la funzione seno

.

Applichiamola due volte per esprimere il seno dell'angolo quadruplo

.

Applicandola reiteratamente si ottiene l'identità

valido per tutti gli interi positivi n (la dimostrazione dettagliata si ottiene con lo schema di dimostrazione per induzione). Ponendo y := x 2n e dividendo entrambi i membri per cos(y/2) si ottiene

Usando di nuovo la formula di duplicazione sin y=2sin(y/2)cos(y/2) otteniamo

Nel caso particolare y = π si ottiene l'identità

Rimane da collegare i fattori del secondo membro di questa identità con i termini an introdotti inizialmente. Utilizzando la formula della bisezione dell'angolo per il coseno,

se ne deriva che soddisfa la formula ricorsiva con condizione iniziale . Quindi an=bn per tutti gli interi positivi n.

La Formula di Viète segue considerando il limite n → ∞. Notiamo infatti che

come conseguenza del limite notevole .

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