Formula di Viète

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Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando le formule che mettono in relazione le radici e i coefficienti di un polinomio, vedi Formule di Viète.
La formula di Viète, così come fu riportata sul suo Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII (1593)

In matematica, la formula di Viète, così denominata in onore del matematico francese François Viète (1540-1603), è la seguente rappresentazione mediante prodotto infinito della costante matematica π:

L'espressione sulla destra deve essere intesa come espressione limite (per )

dove an è il radicale quadratico dato dalla formula ricorsiva con condizione iniziale .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo la formula di duplicazione per la funzione seno

.

Applichiamola due volte per esprimere il seno dell'angolo quadruplo

.

Applicandola reiteratamente si ottiene l'identità

valido per tutti gli interi positivi n (la dimostrazione dettagliata si ottiene con lo schema di dimostrazione per induzione). Ponendo y := x 2n e dividendo entrambi i membri per cos(y/2) si ottiene

Usando di nuovo la formula di duplicazione sin y=2sin(y/2)cos(y/2) otteniamo

Nel caso particolare y = π si ottiene l'identità

Rimane da collegare i fattori del secondo membro di questa identità con i termini an introdotti inizialmente. Utilizzando la formula della bisezione dell'angolo per il coseno,

se ne deriva che soddisfa la formula ricorsiva con condizione iniziale . Quindi an=bn per tutti gli interi positivi n.

La Formula di Viète segue considerando il limite n → ∞. Notiamo infatti che

come conseguenza del limite notevole .

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