Convergenza

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In matematica, la convergenza è la proprietà di una certa funzione o successione di possedere un limite finito di qualche tipo, al tendere della variabile (o dell'indice eventualmente) verso certi valori in un punto o all'infinito.

Il concetto si applica dunque a vari campi della matematica, tutti in qualche modo collegati ma con interpretazioni leggermente diverse.

Limite di una funzione[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Limite (matematica).

Data una funzione continua , si dice che converge (o tende) al limite finito per che tende ad se per ogni esiste un tale che per ogni che soddisfa si ha che . Ovvero:

Analogamente, si dice che converge al limite finito per che tende a infinito se per ogni esiste un tale che per ogni soddisfacente la condizione si ha che . Ovvero:

Convergenza di una successione in una dimensione[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Limite di una successione.

La convergenza di una successione numerica di numeri reali si verifica quando per , a partire da un certo indice in poi tutti i termini della successione si trovino nell'intorno di un punto, detto limite della successione.

Matematicamente questo si esprime dicendo che una successione converge al numero a per , e si scrive , se esiste un indice naturale , in generale dipendente da , tale che la per ogni .

Questo garantisce che tutti i termini della successione, caratterizzati da , siano contenuti nell'intorno . Una successione convergente è necessariamente limitata.

Convergenza delle serie[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Serie, Serie convergente e Criteri di convergenza.

Si consideri una successione di elementi . Si definisce serie associata ad la somma:

.

Per ogni indice della successione, si definisce serie delle somme parziali associata a la somma dei termini della successione da a :

Si dice che la serie è convergente al limite se la relativa successione delle somme parziali converge a . Ovvero, si verifica che:

se e solo se:

Il limite sopra enunciato si dice somma della serie, ed esprime il carattere della serie.

Teorema della convergenza[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Limite di una funzione e Limite di funzioni a più variabili.

Formalmente il concetto di convergenza di una successione è simile a quello delle funzioni . Data una successione di numeri reali che converge a un certo limite per , si ha:

In modo equivalente, per ogni esiste un intorno , in generale dipendente da , tale che:

qualora si verifichi:

Questo garantisce che, come i termini della successione sono contenuti nell'intorno di , allo stesso modo tutti i valori della funzione sono contenuti nell'intorno:

Ogni funzione convergente è quindi necessariamente limitata, e questo implica anche il concetto di continuità di una funzione.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Si supponga di avere una funzione tale che con α appartenente a un certo intervallo . Si può porre:

Si ha dunque:

Se esiste tale che:

e se esiste tale che:

allora si ha:

  • Se allora:
  • è l'unica radice in

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Premesso che:

si ha:

Oltre ad avere:

si verifica che:

Si ottiene:

Poiché tende a zero quando i tende a infinito, la successione converge.

Si ponga per assurdo che nell'intervallo vi sia β, radice della funzione diversa da α. Si ha:

Il fatto che:

è assurdo, e quindi α è l'unica radice dell'intervallo.

Convergenza delle successioni e serie di funzioni[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Successione di funzioni e Serie di funzioni.

Per le successioni vi sono le seguenti tipologie di convergenza:

  • La convergenza puntuale:
  • La convergenza uniforme:

Per le serie di funzioni vi sono le seguenti tipologie di convergenza:

  • La convergenza puntuale si verifica se la serie numerica converge per ogni .
  • La convergenza uniforme si verifica se la successione delle somme parziali converge uniformemente.
  • La convergenza totale si verifica se esiste una serie numerica convergente tale che:
per ogni e .

Convergenza di variabili casuali[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Convergenza di variabili casuali.

Data una successione di variabili casuali , vi sono più tipi di convergenza:

  • La convergenza in distribuzione:
dove e sono le funzioni di ripartizione delle e del limite rispettivamente.
  • La convergenza in probabilità:
  • La convergenza quasi certa:
  • La convergenza in media r-esima:

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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