Teorema della convergenza dominata

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In matematica, il teorema della convergenza dominata fornisce una condizione sufficiente sotto la quale il limite di una successione di funzioni commuta con l'operazione di integrazione.

Il teorema viene generalizzato dal teorema di convergenza di Vitali.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio di misura e una successione di funzioni misurabili su tale che esiste il limite:

Se esiste una funzione tale che:

allora si dice dominata da

Inoltre segue che:[1]

per ogni A contenuto nello spazio di misura X.

ovvero converge a in tutto

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Dal momento che denota il limite quasi ovunque della successione , allora la successione è misurabile e dominata da , e quindi integrabile.

Si vuole mostrare che:

per qualunque S contenuto in X.

Dal momento che:

e che:

per ogni x

allora si può usare il lemma di Fatou inverso e si ha:

Ma dal momento che:

allora:

e il fatto che sia vero per ogni S ci consente di affermare che:

dimostrando la tesi.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ W. Rudin, Pag. 26

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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