Teorema della convergenza monotona

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In matematica, per teorema della convergenza monotona si identificano diversi teoremi relativi alla convergenza di successioni o serie.

Successioni di numeri reali[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso di successioni di numeri, il teorema della convergenza monotona afferma che se è una successione monotona di numeri reali, allora la successione converge se e solo se è limitata.

La dimostrazione del fatto che se una successione monotona converge allora essa è limitata, viene dal fatto che ogni successione convergente è limitata (i dettagli della dimostrazione sono indicati qui).

L'implicazione inversa, cioè che se una successione monotona è limitata allora essa converge, si dimostra nel modo seguente: prendiamo una successione monotona crescente (nel caso di successioni decrescenti la dimostrazione è analoga) e chiamiamo l'immagine della successione . La limitatezza fa sì che esista finito un elemento

tale che per ogni elemento della successione vale . Scelto un arbitrario, esiste un indice tale che

perché non è maggiorante di . Se quindi scegliamo un indice , la monotonia della successione implica e quindi vale

Dall'arbitrarietà di segue la convergenza di a .

Serie di numeri[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso di serie di numeri, il teorema della convergenza monotona afferma che se per ogni coppia di numeri naturali j e k il numero è reale e non negativo e , allora:[1]

Successioni di funzioni[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso di successioni di funzioni, il teorema della convergenza monotona, anche detto teorema di Beppo Levi, afferma che se è uno spazio di misura e una successione di funzioni misurabili su tale che:

allora è misurabile in e:[2]

dove l'integrale è di Lebesgue. Si noti che il valore di ogni integrale può essere infinito.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia una successione non decrescente di funzioni misurabili non negative e si ponga:

Per la proprietà di monotonìa dell'integrale, è immediato vedere che:

Si vuole provare la diseguaglianza nell'altra direzione, cioè:

Dalla definizione di integrale segue che esiste una successione non decrescente di funzioni semplici non negative che convergono puntualmente a quasi ovunque e tali che:

Perciò basta provare che per ogni si ha:

Si vuole provare che se è una funzione semplice e:

quasi ovunque, allora:

Spezzando la funzione nelle sue parti a valori costanti, questo si riduce al caso in cui è la funzione indicatrice di un insieme. Il risultato che si vuole provare è il seguente. Si supponga che sia un insieme misurabile e sia una successione non descrescente di funzioni misurabili su tali che:

per quasi tutti gli . Allora:

Per provare questo risultato si fissi ε > 0 e si definisca la successione di insiemi misurabili:

Per la monotonìa dell'integrale, segue che per ogni si ha:

Per ipotesi:

a meno di un insieme di misura 0. Quindi per l'addittività numerabile di  :

Poiché questo è vero per ogni ε positivo, segue la tesi.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ J Yeh, Real analysis. Theory of measure and integration, 2006.
  2. ^ W. Rudin, Pag. 21.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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