Lemma di Fatou

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In matematica, il lemma di Fatou è un lemma che stabilisce una disuguaglianza tra l'integrale di Lebesgue del limite inferiore di una successione di funzioni e il limite inferiore degli integrali di queste funzioni. Il lemma porta il nome del matematico francese Pierre Fatou (1878 - 1929).

Il lemma di Fatou può essere usato per dimostrare il teorema di Fatou-Lebesgue e il teorema della convergenza dominata di Lebesgue.

Enunciato del lemma di Fatou[modifica | modifica wikitesto]

Se è una successione di funzioni non negative e misurabili definite su uno spazio di misura , allora:

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Il lemma di Fatou viene qui dimostrato usando il teorema della convergenza monotona.

Sia il limite inferiore della successione . Per ogni intero si definisca la funzione:

cioè:

Allora la successione è tale che:

Se , allora , dunque:

quindi:

Per il teorema della convergenza monotona e per la definizione di limite inferiore, utilizzando anche l'ultima disuguaglianza, segue che:

Esempi nel caso di disuguaglianza stretta[modifica | modifica wikitesto]

Si definisca sullo spazio una σ-algebra di Borel con la misura di Lebesgue.

  • Sia l'insieme dei numeri reali e si definisca:

Queste successioni convergono su puntualmente (rispettivamente uniformemente) alla funzione nulla (con integrale nullo), ma ogni ha integrale uguale a .

Inverso del lemma di Fatou[modifica | modifica wikitesto]

Sia una successione di funzioni misurabili con valori appartenenti a esteso definita su uno spazio di misura . Se esiste una funzione non negativa , misurabile e con su , tale che per ogni n, allora:

Per avere la dimostrazione di questo risultato, si applichi il lemma di Fatou alla successione non negativa data da .

Estensioni e varianti del Lemma di Fatou[modifica | modifica wikitesto]

Estremo inferiore integrabile[modifica | modifica wikitesto]

Sia una successione di funzioni misurabili a valori in esteso definita su uno spazio di misura . Se esiste una funzione non negativa e integrabile su tale che per ogni n, allora:

Per la dimostrazione, si applichi il lemma di Fatou alla successione non negativa data da .

Convergenza puntuale[modifica | modifica wikitesto]

Se la successione appena presentata converge puntualmente ad una funzione quasi ovunque su , allora:

Infatti, si osservi che ha lo stesso limite inferiore delle quasi ovunque, e che i valori della funzione integranda su un insieme di misura nulla non influenzano il valore dell'integrale.

Convergenza in misura[modifica | modifica wikitesto]

L'ultima affermazione vale anche se la successione converge in misura ad una funzione . Infatti, esiste una sottosuccessione tale che:

Poiché questa sottosuccessione converge anche in misura a , esiste una nuova successione, che converge puntualmente a quasi ovunque, quindi la precedente variante del lemma di Fatou è applicabile a questa successione.

Lemma di Fatou per il valore atteso condizionato[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Valore atteso condizionato.

Nella teoria della probabilità le precedenti versioni del lemma di Fatou sono applicabili alle successioni di variabili casuali definite su uno spazio di probabilità , con gli integrali che diventano i valori attesi. Inoltre, esiste anche una versione per i valori attesi condizionati.

Sia una successione di variabili casuali non negative definite su uno spazio di probabilità e sia una sotto-σ-algebra. Allora:

quasi certamente. Si nota che il valore atteso condizionato per le variabili casuali non negative è sempre ben definito.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Attraverso un cambio di notazione, la dimostrazione è molto simile a quella utilizzata per provare il lemma di Fatou, tuttavia deve essere applicato il teorema della convergenza monotona per il valore atteso condizionato.

Sia il limite inferiore di . Per ogni intero si definisca la variabile:

Allora la successione è crescente e converge puntualmente a . Per , si ha , e quindi:

quasi certamente per la monotonia della probabilità condizionata, dunque:

quasi certamente, poiché l'unione numerabile degli insiemi notevoli aventi probabilità nulla è ancora l'insieme vuoto.

Usando la definizione di , la sua rappresentazione come limite puntuale di , il teorema della convergenza monotona per la probabilità condizionata, l'ultima disuguaglianza, e la definizione di limite inferiore, segue che:

quasi certamente.

Estensione a parti negative uniformemente integrabili[modifica | modifica wikitesto]

Sia una successione di variabili casuali su uno spazio di probabilità e sia una sotto σ-algebra. Se le parti negative:

sono uniformemente integrabili rispetto al valore atteso condizionato, nel senso che per esiste tale che:

quasi certamente, allora:

quasi certamente. Si nota che nell'insieme in cui il limite:

soddisfa:

il membro a sinistra dell'ultima disuguaglianza è considerato infinito. Il valore atteso condizionato del limite superiore può non essere ben definito su questo insieme a causa del fatto che il valore atteso condizionato della parte negativa può anche essere infinito.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia . A causa dell'uniforme integrabilità rispetto al valore atteso condizionato esiste tale che:

quasi certamente. Dato che:

dove denota la parte positiva di , la monotonia del valore atteso condizionato e la versione standard del lemma implicano che:

quasi certamente. Dal momento che:

si ha:

quasi certamente, e quindi:

quasi certamente. Questo prova l'asserto.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • H.L. Royden, Real Analysis, Prentice Hall, 1988.
  • Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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