Estremo superiore e estremo inferiore

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In matematica, l'estremo superiore di un insieme E contenuto in un insieme ordinato X è il più piccolo elemento dei maggioranti di E.

In modo duale, l'estremo inferiore di E è definito come il più grande elemento dei minoranti di E.

Estremo superiore e inferiore possono appartenere ad E oppure no. Nel primo caso essi coincidono con il suo massimo e minimo. In generale il concetto di massimo e di estremo superiore non coincidono e non vanno confusi.

Il concetto di estremo superiore e inferiore sono applicabili ad ogni struttura matematica per la quale è chiaro cosa si intende per un elemento essere "maggiore o uguale" di un altro elemento. Quindi il concetto di estremo superiore si applica agli insiemi ordinati, per esempio sottoinsiemi di numeri reali, razionali, naturali, ma non per esempio di numeri complessi.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Sia (X,\leq) un insieme totalmente ordinato, E\subseteq X.

Se esiste un elemento y\in X tale che:

  • y è un maggiorante di E
  • \nexists z \in X tale che z è un maggiorante di E e  z<y (vale a dire il maggiorante più piccolo è y stesso)

diciamo che y è estremo superiore di E, in simboli y=\sup E.

Se invece esiste un elemento x\in X tale che:

  • x è un minorante di E
  • \nexists a \in X tale che a è un minorante di E e  a>x (vale a dire il minorante più grande è x stesso)

diciamo che x è estremo inferiore di E, in simboli x=\inf E.

Se l' insieme dei maggioranti di un insieme è non vuoto l' insieme si dice limitato superiormente, mentre se l' insieme dei minoranti è non vuoto l' insieme si dice limitato inferiormente. Ovviamente, se esiste l' estremo inferiore, l' insieme è limitato inferiormente, mentre se esiste l' estremo superiore l' insieme è limitato superiormente. Un insieme limitato superiormente e inferiormente si dice limitato.

Sottoinsiemi della retta reale[modifica | modifica sorgente]

Se si considera un insieme E\subseteq \R^* della retta reale estesa questo ha sicuramente estremo superiore e estremo inferiore.

Questo è garantito dall' assioma di Dedekind che garantisce che ogni sottoinsieme non vuoto di \mathbb{R} è completo e dalla convenzione che, se E non è limitato superiormente (inferiormente) in \mathbb{R}, si dice che il suo estremo superiore (inferiore) è infinito: \sup E=+\infty e/o \inf E=-\infty.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Gli insiemi seguenti sono da considerarsi come sottoinsiemi dell'insieme dei numeri reali.

  • \sup\{1,2,3\} = 3

In questo caso l'estremo superiore coincide col massimo. 3 è l'estremo superiore perché è un maggiorante dell'insieme, e ogni numero reale minore di 3 non è maggiorante dell'insieme;

  • \inf \{ x \in \mathbb{R} : 0 < x < 1 \}=\inf (0,1)=0

L'insieme ha estremo inferiore, ma non ha minimo, infatti 0 non appartiene all'insieme;

  • \sup \{ x \in \mathbb{R} : 0 \leq x \leq 1 \}=\sup [0,1]=1

L'insieme ha estremo superiore e massimo coincidenti;

  • \inf \{y\in\mathbb{R}: y=1/x, x>0\}=\inf(0,\infty)=0

anche in questo caso l'estremo inferiore non appartiene all'insieme e l'insieme non ha minimo. Si noti che l'estremo inferiore coincide con il limite della funzione monotona 1/x per x\to \infty

  • \sup \{x\in\mathbb{Q}:x^2\leq 4\}=2

l'estremo superiore coincide con il massimo;

  • \sup \{x\in\mathbb{Q}:x^2<4\}=2

come prima ma l'insieme non ha massimo;

  • \sup \{x\in\mathbb{Q}:x^2\leq 2\}=\sqrt{2}

in quest'ultimo caso l'insieme è limitato superiormente ma l'estremo superiore non coincide con il massimo, poiché l'insieme non ha massimo.

Completezza ed esistenza[modifica | modifica sorgente]

Se un insieme non è completo può essere che un sottoinsieme limitato superiormente non ammetta estremo superiore. Per esempio, sia E\subseteq\mathbb{Q} definito come:

\{x\in\mathbb{Q}:x^2\leq 2\}.

Questo insieme è sicuramente limitato superiormente poiché se x\in\mathbb{Q} e x\geq 2, x è maggiorante di E. L'insieme però non ha estremo superiore (\sqrt{2} non appartiene a \mathbb{Q}). Si noti che questo esempio è diverso dall'ultimo esempio della sezione precedente, perché prima si ricercava l'estremo superiore in un insieme completo, \mathbb{R}, ora no. Si è dimostrato che per quanto riguarda spazi non completi esistono sottoinsiemi limitati superiormente ma che non ammettono estremo superiore.

Notazioni[modifica | modifica sorgente]

Spesso si incontrano notazioni del tipo

y=\inf_{x\in A} f(x)

dove f è una funzione a valori reali su un dominio qualsiasi e A è un sottoinsieme del suo dominio. Questa notazione è un modo compatto per esprimere:

y=\inf\{z=f(x), x\in A\}

indica cioè l'estremo inferiore dell'immagine di A mediante f.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

  • \sup_{x\in\mathbb{R}} x^2 = +\infty

infatti in questo insieme la funzione non è limitata superiormente

  • \inf_{x\in[0,1]} x^2 = 0

e anche

  • \inf_{x\in(0,1)} x^2 = 0

in questo caso però 0 non è il minimo dell'insieme, in quanto tale valore non esiste, come non esiste il minimo della funzione (è sul bordo del dominio)

  • \sup_{x\in\mathbb{R}} -\exp(-x)=0
  • \sup_{x\in(-1,1)}{-x^2+1}=1

Funzioni monotone[modifica | modifica sorgente]

Come preannunciato in uno degli esempi precedenti esiste una connessione tra il concetto di estremo superiore e quello di limite. Infatti vale il seguente risultato:

Sia f:(a,b)\to\mathbb{R} una funzione monotona in (a,b). Allora esistono

\lim_{x\to b_-} f(x) e \lim_{x\to a_+} f(x)

e si ha (nel caso sia f non decrescente):

\lim_{x\to b_-} f(x)=\sup_{x\in(a,b)} f(x) e \lim_{x\to a_+} f(x)=\inf_{x\in(a,b)} f(x)

con risultati speculari se f è invece non crescente.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]


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