Estremo superiore e estremo inferiore

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In matematica, l'estremo superiore di un insieme contenuto in un insieme ordinato è il più piccolo elemento dei maggioranti di .

In modo duale, l'estremo inferiore di è definito come il più grande elemento dei minoranti di .

Estremo superiore e inferiore possono appartenere ad oppure no. Nel primo caso essi coincidono con il suo massimo e minimo. In generale il concetto di massimo e di estremo superiore non coincidono e non vanno confusi.

Il concetto di estremo superiore e inferiore sono applicabili ad ogni struttura matematica per la quale è chiaro cosa si intende per un elemento essere "maggiore o uguale" di un altro elemento. Quindi il concetto di estremo superiore si applica agli insiemi ordinati, per esempio sottoinsiemi di numeri reali, razionali, naturali, ma non per esempio di numeri complessi.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Siano un insieme totalmente ordinato, .

Se esiste un elemento tale che:

  • è un maggiorante di
  • tale che è un maggiorante di e (vale a dire il maggiorante più piccolo è y stesso)

si dice che è estremo superiore di , in simboli .

Se invece esiste un elemento tale che:

  • è un minorante di
  • tale che è un minorante di e (vale a dire il minorante più grande è x stesso)

si dice che è estremo inferiore di , in simboli .

Se l'insieme dei maggioranti di un insieme è non vuoto l'insieme si dice limitato superiormente, mentre se l'insieme dei minoranti è non vuoto l'insieme si dice limitato inferiormente. Ovviamente, se esiste l'estremo inferiore, allora l'insieme è limitato inferiormente, mentre se esiste l'estremo superiore l'insieme è limitato superiormente.

Un insieme limitato superiormente e inferiormente si dice limitato.

Sottoinsiemi della retta reale[modifica | modifica wikitesto]

Se si considera un insieme della retta reale estesa, questo ha sicuramente estremo superiore ed estremo inferiore. Ciò è garantito dall'assioma di Dedekind, che garantisce che ogni sottoinsieme non vuoto di è completo e dalla convenzione che, se non è limitato superiormente (inferiormente) in , si dice che il suo estremo superiore (inferiore) è infinito: e/o .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Gli insiemi seguenti sono da considerarsi come sottoinsiemi dell'insieme dei numeri reali.

In questo caso l'estremo superiore coincide col massimo. Si ha che è l'estremo superiore perché è un maggiorante dell'insieme e ogni numero reale minore di non è maggiorante dell'insieme;

L'insieme ha estremo inferiore, ma non ha minimo, infatti non appartiene all'insieme;

L'insieme ha estremo superiore e massimo coincidenti;

anche in questo caso l'estremo inferiore non appartiene all'insieme e l'insieme non ha minimo. Si noti che l'estremo inferiore coincide con il limite della funzione monotona per

l'estremo superiore coincide con il massimo;

come prima ma l'insieme non ha massimo;

in quest'ultimo caso l'insieme è limitato superiormente ma l'estremo superiore non coincide con il massimo, poiché l'insieme non ha massimo.

Completezza ed esistenza[modifica | modifica wikitesto]

Se un insieme non è completo può essere che un sottoinsieme limitato superiormente non ammetta estremo superiore. Per esempio, sia definito come:

Questo insieme è sicuramente limitato superiormente poiché se e , è maggiorante di . L'insieme però non ha estremo superiore ( non appartiene a ). Si noti che questo esempio è diverso dall'ultimo esempio della sezione precedente, perché prima si ricercava l'estremo superiore in un insieme completo, , ora no. Si è dimostrato che per quanto riguarda spazi non completi esistono sottoinsiemi limitati superiormente ma che non ammettono estremo superiore.

Notazioni[modifica | modifica wikitesto]

Spesso si incontrano notazioni del tipo:

dove è una funzione a valori reali su un dominio qualsiasi e è un sottoinsieme del suo dominio. Questa notazione è un modo compatto per esprimere:

indica cioè l'estremo inferiore dell'immagine di mediante .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Un primo esempio è

Infatti in questo insieme la funzione non è limitata superiormente.

Considerando invece:

e anche:

in questo caso però non è il minimo dell'insieme, in quanto tale valore non esiste, come non esiste il minimo della funzione (è sul bordo del dominio).

Altri esempi sono:

Funzioni monotone[modifica | modifica wikitesto]

Come si è visto in uno degli esempi precedenti, esiste una connessione tra il concetto di estremo superiore e quello di limite. Sia una funzione monotona in . Allora esistono:

e si ha (nel caso sia non decrescente):

e

con risultati speculari se è invece non crescente.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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