Teorema di Darboux

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Il teorema di Darboux è un teorema dell'analisi matematica che prende il nome da Jean Gaston Darboux. Esso afferma che tutte le funzioni che risultano dalla derivazione di altre funzioni presentano la proprietà del valore intermedio: l'immagine di un intervallo è ancora un intervallo.

È da notare che quando è differenziabile con derivata continua (cioè ) questo è implicitamente vero per il teorema dei valori intermedi, ma anche quando non è continua il teorema di Darboux pone forti limiti alle sue variazioni.

Grazie alla funzione base-13 di John Conway si può dire che il teorema di Darboux, valido per una funzione , non è sempre valido per la sua funzione inversa .

Teorema di Darboux[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione continua a valori reali in , che sia differenziabile in . Allora soddisfa la proprietà del valore intermedio: per ogni compreso tra e , esiste qualche in tale per cui .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Senza perdita di generalità si può supporre che . Sia , allora , quindi sostituendo, si ha , e si vuole trovare uno zero di .

Siccome è una funzione continua in , per il teorema di Weierstrass possiede un massimo in , ma questo massimo non può trovarsi in , poiché , cioè è localmente crescente in , e in modo del tutto simile non può trovarsi in , poiché , cioè è localmente decrescente in . Pertanto il massimo deve stare in un punto compreso in tale che per il teorema di Fermat sui punti stazionari, da cui la tesi.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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