Teorema di Lagrange (teoria dei numeri)

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In teoria dei numeri, il teorema di Lagrange è un enunciato che prende il nome da Joseph-Louis Lagrange su quanto frequentemente un polinomio sugli interi può assumere valore uguale a un multiplo di un numero primo fissato. Più precisamente, esso afferma che se è un numero primo e è un polinomio a coefficienti interi, allora:

  • ogni coefficiente di è divisibile per , oppure
  • ha, al massimo, grado di soluzioni incongruenti.

Le soluzioni sono "incongruenti" se non differiscono di un multiplo di . Se il modulo non è primo, allora è possibile che ci siano più di grado di soluzioni.

Una dimostrazione del teorema di Lagrange[modifica | modifica wikitesto]

Le due idee chiave sono le seguenti. Sia il polinomio ottenuto da prendendo i coefficienti . Ora (i) è divisibile per se e solo se ; (ii) non ha più radici del suo grado.

Più rigorosamente, cominciamo ad osservare che se e solo se ogni coefficiente di è divisibile per . Supponiamo che non sia 0; il suo grado è, quindi, ben definito. È facile vedere che . Per dimostrare (i), prima osserviamo che possiamo calcolare o direttamente, cioè inserendo (la classe residua di) ed eseguendo operazioni aritmetiche in , o riducendo . Quindi se e solo se , cioè se e solo se è divisibile per . Per dimostrare (ii), osserviamo che è un campo, il che è un fatto normale; una dimostrazione rapida consiste nell'osservare che, poiché è primo, è un dominio d'integrità finito, quindi è un campo. Un altro fatto normale è che un polinomio non-nullo su un campo ha al massimo tante radici quanto il suo grado; ciò segue dall'algoritmo di divisione.

Infine, osserviamo che due soluzioni sono incongruenti se e solo se . Mettendo tutto insieme: il numero di soluzioni incongruenti, per via di (i), è lo stesso del numero di radici di , che, per via di (ii), è al massimo , che è al massimo .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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