Algebra commutativa

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In algebra astratta, l'algebra commutativa è il settore che studia strutture algebriche commutative (o abeliane) come gli anelli commutativi, i loro ideali e strutture più ricche costruite sui suddetti anelli come i moduli e le algebre. Attualmente costituisce la base algebrica della geometria algebrica e della teoria dei numeri algebrica.

Il vero fondatore del soggetto, ai tempi in cui veniva chiamata teoria degli ideali, dovrebbe essere considerato David Hilbert. Sembra che egli abbia pensato a ciò (attorno al 1900) come approccio alternativo che potesse sostituire uno strumento impegnativo come la teoria delle funzioni complesse. Va considerato che secondo Hilbert gli aspetti computazionali erano meno importanti di quelli strutturali. Il concetto di modulo, presente in qualche forma nei lavori di Kronecker, costituisce un miglioramento tecnico rispetto all'atteggiamento di lavorare utilizzando solo la nozione di ideale. La larga adozione di questo concetto è attribuita all'influenza di Emmy Noether.

Facendo riferimento al concetto di schema, l'algebra commutativa può essere vista come teoria locale o teoria affine nell'ambito della geometria algebrica.

Lo studio delle strutture algebriche basate su anelli non necessariamente commutativi è chiamato algebra non commutativa; esso è perseguito, oltre che in teoria degli anelli, nella teoria delle rappresentazioni ed in aree non strettamente algebriche come la teoria delle algebre di Banach.

Argomenti legati all'algebra commutativa:

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) M.F. Atiyah, I.G. Macdonald (1969): Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont.
  • (EN) Robert Gilmer (1972): Multiplicative ideal theory, Pure and Applied Mathematics, No. 12. Marcel Dekker, Inc., New York.
  • (EN) Irving Kaplansky (1974): Commutative rings, The University of Chicago Press, Chicago, Ill.-London.
  • (EN) Hideyuki Matsumura (1989): Commutative ring theory , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 0-521-36764-6
  • (EN) David Eisenbud (1995): Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry, Springer, ISBN 0-387-94269-6
  • (EN) David Cox, John Little, Donald O'Shea (1997): Ideals, Varieties, and Algorithms. An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra, 2nd ed., Springer, ISBN 0-387-94680-2

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