Disuguaglianza di Ono

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Jump to navigation Jump to search

In matematica, la disuguaglianza di Ono è un teorema sui triangoli. Esso afferma che per ogni triangolo acutangolo di lati a, b e c e superficie A vale la seguente disuguaglianza:

L'uguaglianza vale se il triangolo è equilatero.

T. Ono propose questa disuguaglianza nel 1914, chiedendo se fosse vera per qualunque triangolo. Questa congettura fu smentita da G. Quijano nel 1915, ma fu dimostrata per i triangoli acuti (incluso quello rettangolo) da F. Balitrand nel 1916.

Un semplice controesempio alla congettura di Ono è a = 3/4, b = 1/2, c = 1.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo che il triangolo non sia ottusangolo, quindi abbia tutti gli angoli minori o uguali all'angolo retto. Sia γ l'angolo opposto al lato . Per il teorema del coseno a² +b² − c² = 2ab cosγ. Per l'ipotesi, il coseno di γ è positivo (o al più nullo), e quindi a² +b² − c² ≥ 0. Analogamente si dimostra che b² +c² − a² ≥ 0 e c² +a² − b² ≥ 0.

Sia la funzione

Essa è sempre non-negativa ed è uguale a 0 solo per .

Applicando la formula di Erone e svolgendo i calcoli si verifica che:

con l'uguaglianza se e solo se . Ciò conclude la dimostrazione.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • F. Balitrand, Problem 4417, in Intermed. Math., vol. 23, 1916, pp. 86–87.
  • T. Ono, Problem 4417, in Intermed. Math., vol. 21, 1914, p. 146.
  • G. Quijano, Problem 4417, in Intermed. Math., vol. 22, 1915, p. 66.
  • Dragoslav S. Mitrinović, Josip E. Pečarić; Vladimir Volenec, Recent Advances in Geometric Inequalities, Kluwer Academic Publishers, 1989, pp. 240–241, ISBN 90-277-2565-9.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica