Disuguaglianza di Bessel

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In analisi funzionale, la disuguaglianza di Bessel, il cui nome è dovuto a Friedrich Bessel, è una proprietà dei coefficienti di Fourier rispetto ad un sistema ortonormale di un elemento in uno spazio di Hilbert. Una forma più forte della disuguaglianza è fornita dal teorema di Riesz-Fischer.

Sia uno spazio di Hilbert, e sia un sistema ortonormale in . Allora, per qualsiasi in si ha che:

dove denota il prodotto interno dello spazio di Hilbert . Se si definisce:

la disuguaglianza di Bessel ci dice che la serie converge.

Per una successione ortonormale completa (ovvero una successione ortonormale che è una base ortonormale), vale l'identità di Parseval, ovvero vale l'uguaglianza al posto della disuguaglianza, ed inoltre:

La disuguaglianza di Bessel segue dall'identità:

che vale per qualsiasi , escluso minore di .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) K. Yosida, Functional analysis , Springer (1980) pp. Chapt. 8, Sect. 4; 5
  • (EN) E.W. Cheney, Introduction to approximation theory , Chelsea, reprint (1982) pp. 203ff
  • (EN) P.J. Davis, Interpolation and approximation , Dover, reprint (1975) pp. 108–126
  • (EN) E. Hewitt, K.R. Stromberg, Real and abstract analysis , Springer (1965)

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