Disuguaglianza di Bernstein

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Nella teoria della probabilità, la disuguaglianza di Bernstein è una delle disuguaglianze riguardanti la somma di variabili casuali. Venne formulata da Sergei Natanovich Bernstein, di cui porta il nome.

Teorema[modifica | modifica wikitesto]

Siano delle variabili casuali indipendenti limitate, allora vale la disuguglianza:

;

dove:

  • è la varianza della somma delle variabili,
  • è il valore atteso della somma delle variabili,
  • è una costante tale che , ovvero è lo scarto massimo rispetto alla media, presente tra le variabili casuali (tale esiste, in quanto si è assunto che le fossero limitate).

Disuguaglianza di Bernstein e Chebyshev a confronto[modifica | modifica wikitesto]

Utilizzando la disuguaglianza di Chebyshev quadratica, si può stimare la stessa quantità:

la stima di Bernstein è evidentemente più accurata: garantisce infatti un decadimento esponenziale (per grandi ) della probabilità che la somma delle variabili aleatorie si discosti dalla media (mentre la disuguaglianza di Chebyshev garantisce solo un decadimento quadratico). Tuttavia, la disuguaglianza di Bernstein è valida sotto l'ipotesi che le variabili considerate siano limitate (ipotesi non necessaria per Chebyshev).

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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