Gruppo ordinato

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In algebra, un gruppo ordinato è un gruppo G dotato di una struttura d'ordine addizionale che preserva l'operazione di gruppo: se \leq è un ordine su G allora per ogni a,b,c in G deve valere che

a\leq b implica ac \leq bc e ca \leq cb

Si dice anche che \leq è invariante per traslazioni (la motivazione del nome è più evidente per gruppi additivi).

Grazie alle proprietà di un gruppo possiamo enunciare la caratterizzazione

a\leq b se e solo se e\leq a^{-1}b

dove e è l'elemento neutro del gruppo. L'insieme degli elementi maggiori o uguali di e si denota con G^+ e si dice il cono positivo di G.

G^+ definisce completamente l'ordine: infatti un gruppo è un gruppo ordinato se e solo se esiste un suo sottoinsieme H (che sarà proprio G^+) tale che:

  • e\in H
  • se a,b\in H allora ab \in H
  • se a \in H allora b^{-1}ab\in H per ogni b (la proprietà precedente e questa implicano che H è un sottogruppo normale di G)
  • se a,a^{-1}\in H allora a=e

Un omomorfismo tra gruppi ordinati (o O-omomorfismo) è definito come un omomorfismo di gruppi che sia anche una funzione monotona.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica