Gruppo ordinato

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In algebra, un gruppo ordinato è un gruppo G dotato di una struttura d'ordine addizionale che preserva l'operazione di gruppo: se è un ordine su G allora per ogni a,b,c in G deve valere che

implica e

Si dice anche che è invariante per traslazioni (la motivazione del nome è più evidente per gruppi additivi).

Grazie alle proprietà di un gruppo possiamo enunciare la caratterizzazione

se e solo se

dove e è l'elemento neutro del gruppo. L'insieme degli elementi maggiori o uguali di e si denota con e si dice il cono positivo di G.

definisce completamente l'ordine: infatti un gruppo è un gruppo ordinato se e solo se esiste un suo sottoinsieme H (che sarà proprio ) tale che:

Un omomorfismo tra gruppi ordinati (o O-omomorfismo) è definito come un omomorfismo di gruppi che sia anche una funzione monotona.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Uno spazio vettoriale ordinato e un campo ordinato sono banalmente gruppi ordinati.
  • Il prodotto diretto di n copie del gruppo additivo dei numeri interi con l'ordinamento "termine a termine" per ogni i=1,...,n è un gruppo ordinato.
  • L'insieme delle funzioni da un qualsiasi insieme ad un gruppo ordinato è un gruppo ordinato, con le operazioni definite puntualmente.
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