Numero duale

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In algebra lineare, i numeri duali sono un'estensione dei numeri reali, ottenuta aggiungendo ad essi un elemento caratterizzato dalla proprietà di essere nilpotente, ovvero tale che il suo quadrato è pari a zero. I numeri duali costituiscono un insieme con proprietà complementari a quelle dei numeri complessi, e trovano applicazione in fisica come un semplice esempio di superspazio, spazio delle configurazioni utilizzato in relatività generale e nelle teorie supersimmetriche. I numeri duali furono introdotti nel XIX secolo da William Clifford.

Algebra dei numeri duali[modifica | modifica wikitesto]

Indicato con l'elemento nilpotente, ogni numero duale può quindi essere scritto nella forma:

,

dove e sono numeri reali, e vale la relazione

.

L'elemento ha una funzione analoga all'unità immaginaria dei numeri complessi, e spesso viene definito anch'esso unità immaginaria.

In generale, è possibile eseguire le normali operazioni algebriche sui numeri duali, considerando come una variabile e avendo cura di sostituire con 0 quando . È così possibile calcolare la somma e il prodotto di due numeri duali e :

Con le operazioni sopra descritte, i numeri duali formano un'algebra associativa e commutativa dotata di unità.

Divisione[modifica | modifica wikitesto]

L'operazione di divisione tra due numeri duali è definita come moltiplicazione per l'inverso moltiplicativo del divisore; analogamente ai numeri complessi, è possibile eseguire la divisione moltiplicando dividendo e divisore per il coniugato del divisore:

La divisione è definita per , per cui tutti i duali privi di parte reale non sono invertibili e i numeri duali non costituiscono un campo.

Rappresentazione matriciale[modifica | modifica wikitesto]

I numeri duali sono identificabili con le matrici reali della forma:

che rappresenta il numero .

In questo modo, le usuali operazioni di somma e prodotto tra matrici coincidono con la somma e il prodotto di numeri duali; l'elemento nilpotente è dato dalla matrice

Rappresentazione polare[modifica | modifica wikitesto]

È possibile definire il modulo di un numero duale come:

.

La circonferenza unitaria è allora costituita dalle rette di equazione , mentre l'equivalente della formula di Eulero è:

.

Dato allora il numero , se è possibile scomporlo come:

.

I due parametri e si possono considerare le coordinate polari del numero duale.

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

La costruzione eseguita può essere generalizzata a qualunque anello commutativo : i numeri duali su sono gli elementi dell'anello quoziente , dove è l'anello dei polinomi a coefficienti in e è l'ideale generato da .

L'ideale non è massimale [1], per cui l'anello dei duali non è mai un campo; l'inverso dell'elemento è , ed è definito se è una unità in .

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Calcolo numerico delle derivate[modifica | modifica wikitesto]

L'unità immaginaria dei numeri duali ha proprietà analoghe agli infinitesimi utilizzati nell'analisi non standard, i cui quadrati hanno valore "quasi" nullo (più precisamente, sono infinitesimi di ordine superiore). Questa caratteristiche hanno interessanti applicazioni nella definizione dei polinomi su numeri duali: dato il polinomio , è possibile scrivere il suo sviluppo di Taylor, centrato nel punto ; questo sviluppo è troncato al secondo termine, in quanto tutti i termini successivi contengono potenze dell'unità immaginaria superiori a uno:

.

Dalla formula sopra segue che conoscendo il valore del polinomio in un determinato numero duale, è possibile conoscere il valore della derivata del polinomio, calcolato sulla parte reale. È anche possibile generalizzare questa formula utilizzandola per definire le funzioni trascendenti sui numeri duali:

.

Trasformazioni di Galileo[modifica | modifica wikitesto]

In cinematica, le trasformazioni di Galileo possono essere rappresentate mediante i numeri duali: dato il sistema di riferimento , che si muove con velocità relativa rispetto al sistema di riferimento , la trasformazione delle coordinate tra i due sistemi è data dalla matrice del numero duale :

,

ovvero:

Superspazi in fisica[modifica | modifica wikitesto]

I numeri duali costituiscono un semplice esempio di superspazio, spazio delle configurazioni utilizzato da alcune teorie fisiche, come la supersimmetria; la componente reale è detta direzione bosonica, quella immaginaria direzione fermionica; quest'ultima deriva il proprio nome dai fermioni, particelle che obbediscono al principio di esclusione di Pauli: con uno scambio di coordinate, la loro funzione d'onda cambia di segno, e considerando entrambe le coordinate, la funzione d'onda si annulla. Questo comportamento può essere sintetizzato nelle proprietà dell'elemento nilpotente.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ è contenuto nell'ideale

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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