Numero iperreale

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Un numero iperreale è un elemento cardine nell'analisi non standard, introdotta dalle ricerche di Abraham Robinson dell'università Yale nel 1966 sul suo libro Non-Standard Analysis.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un numero iperreale è un numero appartenente all'insieme , una struttura matematica che può essere costruita a partire da , ma che risulta più ampia. Esso viene definito a partire dal numero infinitesimo.

Secondo Robinson un infinitesimo è un numero ε minore in valore assoluto di qualsiasi per ogni . A differenza di Leibniz, egli attribuisce a tali ε la dignità di numeri:

la categoria dei numeri iperreali è l'insieme dei reali, degli infinitesimi, dei reciproci degli infinitesimi (numeri infiniti) e di altri numeri infinitamente vicini ai reali

Un numero iperreale non infinito è, pertanto, della forma:

a+ε

dove a è un numero reale ed ε un infinitesimo. Di conseguenza, attorno ad un numero reale, esiste un intorno di numeri iperreali a distanza infinitesima da esso, i quali costituiscono l'insieme degli a + ε: tale insieme viene detto monade e viene indicato con μ(a).

Si dimostra che ε è minore di ogni numero reale positivo.

In maniera più formale la monade di un numero a viene definita come la classe di equivalenza della relazione se è un numero infinitesimo o 0.

Non continuità della retta degli iperreali[modifica | modifica wikitesto]

La retta dei reali è immersa nella retta degli iperreali. Per quest'ultima non vale l'assioma di Archimede, quindi non è detto che, dati due numeri a e b, con a < b, esista un intero N per cui vale la relazione Na > b. Come conseguenza, non sempre esiste l'elemento di separazione tra due semirette.

Dimostrazione

Supponiamo infatti di dividere la retta degli iperreali in due semirette: una parte r che contiene tutti gli iperreali negativi, lo zero e tutti gli iperreali infinitesimi. L'altra parte r' contiene tutti gli iperreali non infinitesimi positivi. Per assurdo, supponiamo che σ sia l'elemento di separazione: esso sarà maggiore di zero e maggiore di tutti gli elementi di r. Se σ appartenesse ad r, sarebbe infinitesimo. Ma, per la definizione di infinitesimo, anche 2σ e Nσ, con N grande a piacere, lo sarebbero, ed apparterrebbero ad r. Tuttavia Nσ>σ e dunque non può essere σ l'elemento di separazione. Se supponiamo invece che σ appartenga ad r' , allora non è infinitesimo, e dunque nemmeno σ/2 o σ/N, con N grande a piacere. Ma simmetricamente σ/N< σ, e ciò non è possibile. Quindi non esiste un elemento di separazione tra r' ed r.

Costruzione dell'insieme degli iperreali[modifica | modifica wikitesto]

In questo modo si è in grado di costruire un insieme iperreale più ampio rispetto a quello reale. Si indichi l'insieme dei reali, dotato delle operazioni di somma e prodotto ed ordinato usualmente, nel modo seguente:

L'insieme degli iperreali sarà pertanto indicato come:

Sia ora l'insieme dei numeri naturali e l'insieme delle successioni dei numeri reali, di modo che ciascun suo elemento abbia la forma:

con

Le operazioni di somma e moltiplicazione sono pertanto definite da:

Ora, se r ed s sono due elementi di , allora si dirà che se e solo se , dove è un ultrafiltro sui naturali.

Questa relazione sarà di equivalenza su . A questo punto è possibile partizionare tale insieme in classi di equivalenza. L'insieme di queste classi è indicato con e la classe contenente una particolare successione s, sarà indicata da [s] o s. Gli elementi di sono detti numeri iperreali.

Operazioni e relazioni[modifica | modifica wikitesto]

A questo punto è possibile definire operazioni e relazioni sugli iperreali:

  • cioè
  • cioè
  • se e solo se
  • se e solo se o

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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