Campo di numeri

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In matematica un campo di numeri (o campo numerico) è un'estensione finita del campo dei numeri razionali. Questo significa che è un campo contenente ed ha dimensione finita come spazio vettoriale su .

Lo studio dei campi di numeri e, più in generale, delle estensioni del campo dei numeri razionali, è uno degli argomenti principali della teoria algebrica dei numeri.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un campo algebrico di numeri o più semplicemente un campo di numeri è per definizione un sottocampo del campo dei numeri complessi che sia un'estensione di grado finito del campo dei numeri razionali .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Un primo esempio banale è il campo dei numeri razionali , che è esso stesso un campo di numeri, essendo un'estensione di grado di .
  • Un esempio non banale sono i campi quadratici, cioè le estensioni con privo di fattori quadratici. Ovviamente se allora è il campo dei razionali gaussiani.
  • Un altro esempio è l'-esimo campo ciclotomico, cioè il campo con radice primitiva -esima dell'unità, questo campo ha grado dove è la funzione di Eulero.
  • Un "non" esempio è , che è un'estensione di ma il suo grado è infinito, per cui non è un campo di numeri. Per vedere che , basta ricordare che ha cardinalità del continuo, mentre è numerabile.

Anelli di interi algebrici[modifica | modifica wikitesto]

Sappiamo dalla teoria dei campi che data un'estensione , un elemento è detto algebrico su se è radice di un polinomio monico , e chiamiamo estensioni algebriche le estensioni di campi i cui elementi sono tutti algebrici; in particolare se chiamiamo numero algebrico un elemento che sia algebrico su , inoltre se è radice di un polinomio monico a coefficienti in diremo che è un intero algebrico.

Ora, dato un campo di numeri , definiamo (si dimostra che è un anello), si definisce anello degli interi algebrici di .

In generale dato un campo di numeri , il rispettivo anello degli interi non è un UFD (vedi esempio sotto), ma è possibile dimostrare che gode di altre interessanti proprietà, in particolare, che è un dominio di Dedekind, per cui ammette una fattorizzazione unica in termini di ideali primi.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Dato il campo quadratico , si ha (in realtà si può dimostrare che ), per cui abbiamo

dunque non è UFD.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Gerald J. Janusz, Algebraic Number Fields, 2nd, Providence, R.I., American Mathematical Society, 1996 1997, ISBN 978-0-8218-0429-2.
  • (EN) Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
  • (EN) Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999
  • (EN) Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005
  • (EN) Władysław Narkiewicz, Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Springer Monographs in Mathematics, 3ª ed., Berlin, Springer-Verlag, 2004, ISBN 978-3-540-21902-6, MR 2078267.
  • (EN) Jürgen Neukirch, Algebraic number theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 322, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859, Zbl 0956.11021.
  • (EN) Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt e Kay Wingberg, Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 323, Berlin, New York, Springer-Verlag, 2000, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196, Zbl 1136.11001.
  • (EN) André Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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