Teorema delle radici razionali

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In algebra, il teorema delle radici razionali afferma che ogni soluzione razionale di un'equazione polinomiale a coefficienti interi:

è della forma , dove:

  • è un divisore del termine noto
  • è un divisore del coefficiente direttore .

Il teorema non dà alcuna informazione su eventuali radici irrazionali o complesse.

Ad esempio, se abbiamo un'equazione della forma

allora le eventuali radici razionali sono contenute in quest'insieme:

.

Se il polinomio è monico, cioè è , evidentemente la formula si semplifica restringendo le opzioni tra i soli divisori del termine noto. La verifica di ogni singola possibile radice si può ad esempio attuare con la regola di Ruffini; se nessun valore soddisfa le richieste, allora tutte le sue radici (che esistono per il teorema fondamentale dell'algebra) sono irrazionali o complesse. Al contrario, se sono state trovate radici razionali, allora il polinomio è completamente fattorizzabile in polinomi lineari con coefficienti razionali.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema delle radici razionali è una diretta conseguenza del lemma di Gauss, il quale afferma che se un polinomio (a coefficienti interi) è fattorizzabile sui razionali, allora lo è anche sugli interi.

Quindi se esiste una radice razionale , questo significa che potremo scrivere il nostro polinomio iniziale come con tutti i interi. Facendo il prodotto (i coefficienti intermedi non ci interessano) e sfruttando il fatto che due polinomi sono uguali se e solo se coincidono tutti i coefficienti, avremo e , da cui il teorema.

In altro modo, supponiamo che la frazione sia una radice del polinomio. Possiamo supporre che la frazione sia ridotta ai minimi termini, ovvero che gli interi e siano primi fra loro. Sostituendo si ottiene

da cui, moltiplicando per ,

Ora divide i primi termini, dunque deve dividere anche l'ultimo termine . Dato che e sono primi fra loro, deve dividere . Con un ragionamento analogo si vede che divide .

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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